[Masba]

Espero me ayuden!

Supóngase que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzos. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurra el segundo ciclo: (a) dentro de una desviación estándar del tiempo promedio, y (b) a más de dos desviaciones estándar por encima de la media. (Suponer distribución gamma con alfa 2 y beta 50).

[HernanV]

Hola,

La función de densidad de una V.A. \( \displaystyle X \sim G(2,50) \) es \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{50^{2} \cdot \Gamma (2) }\cdot x \cdot e^{-x/50} \). Sabes que el tiempo medio lo puedes obtener haciendo el producto de los parámetros, que en este caso coincide con \( \displaystyle \mu = \mathbb{E}[X] = \alpha \cdot \beta = 100 \). El desvío estándar es \( \displaystyle \sigma = \beta \sqrt{\alpha} = 50 \sqrt{2} \).

En el punto a) te piden hallar, si no me equivoco, \( \displaystyle \mathbb{P}(\mu -\sigma\le X \le \mu + \sigma) \).

En el punto b) es parecido, \( \displaystyle \mathbb{P}(X \ge \mu + 2\sigma) \).

Saludos.

EDIT: Corregido.

[Masba]

disculpa en el a) no te piden hallar \( \displaystyle \mathbb{P}(\mu -\sigma\le X \le \mu + \sigma) \)

[HernanV]

Sí, tenes razón. Me confundí yo.

[Masba]

ok... disculpa, en el b) te piden hallar \( \displaystyle \mathbb{P}(X \ge \mu + 2\sigma) \) , eso seria la integral que va de \( \mu + 2\sigma \) hasta infinito. Es igual a calcular 1 - integral que va de 0 a \( \mu + 2\sigma \) ?

[HernanV]

Exactamente.