No vi la fórmula de HernanV. Pero recuerda que si \( \displaystyle X\sim Weibull(a, b) \) entonces:
\( f_X(t)=\left\{\begin{array}{l} \frac{b}{a}\cdot \left(\frac{t}{a}\right)^{b-1}\cdot e^{-(\frac{t}{a})^b} & t\geq 0 \\0 & t<0\end{array}\right. \)
Por lo tanto \( \displaystyle \mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}t\cdot f_{X}(t)\ dt=b\int_{0}^{+\infty}{\left(\frac{t}{a}\right)}^b\cdot e^{-(\frac{t}{a})^b}\ dt \).
Ahora haciendo el cambio de variable \( u=\left(\frac{t}{a}\right)^b \) se tiene que \( du=b\left(\frac{t}{a}\right)^{b-1}\cdot \frac{1}{a}\ dt \)
Por lo tanto, la integral queda:
\( \displaystyle \mathbb{E}(X)=b\int_{0}^{+\infty}\frac{a}{b}\cdot{u}^{\frac{1}{b}}\cdot e^{-u}\ du=a\cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{b}\right) \)
No recuerdo qué daba la esperanza de una Weibull, pero debiera ser eso.
Saludos
