Hola
Recuerda que si \( X\sim Geo(p) \), entonces \( p_X(k)=P(X=k)=p\cdot (1-p)^{k-1} \) y los posibles valores para \( k \) (que representa el número de pruebas Bernoulli hasta obtener éxito) son \( 1,2,3,\dots \) (estos valores se van hasta infinito porque uno en teoría podría tener muchísima mala suerte y no obtener éxito nunca).
Entonces,
\( \displaystyle {P(X=Y)=P(\{X=1\}\cap{}\{Y=1\})+P(\{X=2\}\cap{}\{Y=2\})+ P(\{X=3\}\cap{}\{Y=3\})+\cdots} \)
Pero como \( X,Y\ iid \) entonces:
\( \displaystyle {P(X=Y)=P(X=1)\cdot{}P(Y=1)+P(X=2)\cdot P(Y=2)+ P(X=3)\cdot P(Y=3)+\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)\cdot P(Y=k)=\sum_{k=1}^{+\infty}p^2(1-p)^{2(k-1)} } \)
Ahora esta última es una serie ordinaria.
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}p^2(1-p)^{2(k-1)}=p^2\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{2(k-1)}=p^2\sum_{k=1}^{+\infty} \Big((1-p)^2\Big)^{k-1} = \frac{p^2}{1-(1-p)^2}=\frac{p^2}{1-(1-2p+p^2)}=\frac{p^2}{2p-p^2}=\fbox{$\displaystyle \frac{p}{2-p}$} \)
Saludos
