[raziel_mlt]

Hola, estoy buscando un consejo para resolver este problema de probabilidad ya que no lo he logrado, cualquier sugerencia es bien recibida:

Sean \( \{X_i\}_{i=1}^\infty \) variables aleatorias independientes identicamente distribuidas exponencialmente con media igual a 1 para toda \( i=1,2,... \)

\( a) \) Argumente que  \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{P[\sqrt{n}((\bar{X}_{n} - 1) \leq{x}] = P[Z\leq{x}]} \), donde  \( Z \) es una variable aleatoria normal estándar.

Saludos.

[Héctor Manuel]

Teorema del límite central?

Saludos.

[HernanV]

Hola,

Usa el teorema central del límite.

Saludos.

EDIT: Me ganó hector manuel.

[raziel_mlt]

Muchas gracias Héctor Manuel y Hernan por sus sugerencias, lo hice usando el TCL, según yo es así:

\( \{X_i\}_{i=1}^\infty \) entonces \( X_i \sim{exp(1)} \) pues \( \mathbb{E}(x)=1 \) y \( var(x)=1 \) , teniendo esto en cuenta:

\( \mathbb{P}[\sqrt{n}(\bar{X}_n - 1) \leq{x}] \)

\( = \mathbb{P}[(\bar{X}_n - 1) \leq{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{n}}] \)
\( = \mathbb{P}\left[\displaystyle\frac{\bar{X}_n - 1}{\sqrt\frac{1}{n}} \leq{\frac{\frac{x}{\sqrt{n}}}{\sqrt\frac{1}{n}}\right] \)
\( = \mathbb{P}\left[\displaystyle\frac{\bar{X}_n - 1}{\sqrt\frac{1}{n}} \leq{x}\right] \)
entonces sea \( Z=\frac{\bar{X}_n - 1}{\sqrt\frac{1}{n}} \)

\( =\mathbb{P}[Z\leq{x}] \)

con \( Z \sim{ N (0,1)} \)

¿Es correcta mi respuesta? Adicionalmente a esto me han pedido demostrar la fórmula de Stirling usando este resultado, ¿alguna idea?.

[Héctor Manuel]

Es casi correcta. En toda la cadena de igualdades, hasta antes de introducir la variable Z, debes escribir el símbolo de límite.

Saludos.