[numbsoul]

Sea \( (X,Y) \) un vector aleatorio con \( R_{X}=\{0,\ldots,n\} \) y \( P(Y\in (0,1))=1 \) y cuya distribución conjunta viene dada por \( P(X=k,Y\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\dfrac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)}\displaystyle\binom{n}{k}y^{p+k-1}(1-y)^{q+n-k-1}dy \).

El ejercicio pide hallar las distribuciones condicionales de \( X|Y \) e \( Y|X \).

Haciendo unas sencillas cuentas,obtengo que \( Y\sim \beta(p,q) \).Notemos por \( f_{y} \) a esta densidad.

Quiero hallar primero la distribución de \( Y|X \).Para ello,observamos que \( P(Y\leq t|X=k)=\dfrac{P(X=k,Y\leq t)}{P(X=k)} \).Si derivo esta expresión respecto de \( t \),obtendré la densidad \( f_{y|x=k}(t) \).Cuando hago eso,me queda el integrando en la variable \( t \) dividido la puntual \( P(X=k) \),y entonces ahora quiero hallar la puntual.¿Cómo haría eso?.

Sé por un lado que \( P(X=k)=\displaystyle\int_{0}^{1}P_{x|y=t}(k)f_{y}(t)dt \).

[numbsoul]

Lo que se me ocurrió hacer fue lo siguiente:\( P(X=k)=P(X=k,Y\leq 1)+P(X=k,Y>1) \).Como \( P(Y>1)=0 \),el segundo sumando es nulo.Por lo tanto me queda,después de reescribir un poco el integrando,queda \( P(X=k)=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{y}(t)\displaystyle\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}dt \).Y también tengo qued \( P(X=k)=\displaystyle\int_{0}^{1}P_{x|y=t}f_{y}(t)dt \).A partir de aquí,¿puedo concluir algo?.