[Gaussa]

Hola.

Necesito ayuda con el siguiente problema.

Calcula el número de particiones del conjunto \(  T=\{a,b,c,d,e\} \) en las que \( a \) y \( b \) estén en partes distintas.

Yo lo que intento hacer es calcularlo con el complementario.Calcularía primero las particiones que hay en total y se lo restaría a las particiones que hay considerano \( ab \) como si fuera una sola letra (estarían en la misma parte). Pero no sé cómo calcular las particiones de un conjunto.

Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

Pero no sé cómo calcular las particiones de un conjunto.

Tu conjunto es \( \{a,b,c,d,e\} \). Piensa que cualquier partición de él será un distribución de los elementos \( a,b,c,d,e \) (distintos) en cajas iguales, sin que ninguna caja quede vacía (cada elemento de la partición debe tener por lo menos un elemento de \( A \)). Entonces, calcula:

1) cantidad de formas de distribuir los elementos en 1 caja sola.
2) cantidad de formas de distirbuir los elementos en 2 cajas.
3) cantidad de formas de distribuir los elementos en 3 cajas.
4) cantidad de formas de distribuir los elementos en 4 cajas.

Reitero. Las cajas son indistinguibles y ninguna puede quedar vacía. Una vez que tengas calculados estos números, los sumas y ese será el número total de particiones.

Saludos

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias, Pablo N.

Por ejemplo, para distribuirlas en 2 cajas sería \( C_{5,1}\cdot{C_{4,4}}+C_{5,3}\cdot{C_{2,2}} \).

Y para 3 cajas \( \displaystyle\frac{C_{5,3}\cdot{C_{2,1}\cdot{C_{1,1}}}}{2!}+\displaystyle\frac{C_{5,2}\cdot{C_{3,2}\cdot{C_{1,1}}}}{2!} \)
 
No sé si será así.

Saludos y muchas gracias.

[pierrot]

Supón primero que hay distinción entre las cajas. Entonces la cantidad de maneras de repartir los elementos \( a,b,c,d,e \) (distintos) en 2 cajas diferentes sin que ninguna quede vacía será el número de funciones sobreyectivas de un conjunto de 5 elementos en otro de 2. Si no hay distinción entre las cajas (recuerda que las cajas vienen a representar los elementos de la partición) deberás dividir dicho número entre 2. Razona analógamente para cuando tengas 3 cajas o más.

Saludos.