[Gaussa]

Hola.

Tengo dos problemas que no me salen por más que lo intento. Son Los siguientes.

a) Una empresa decide premiar a sus consumidores. En cada bolsa de dulces incluyen una tarjeta con un código de 3 símbolos, que pueden ser dígitos del 0 al 9 o letras (que pueden ser 26). Las únicas restricciones son que no pueden aparecer letras  repetidas y que no pueden aparecer dos letras juntas en el código. Para obtener el premio hay que reunir tres tarjetas iguales. ¿Cuántas bolsas de dulces habrá que comprar para estar seguro de que vas a ganar el premio?

Bien, pues primero lo que intento hacer es calcular las posibilidades que tiene el código. Si luego lo multiplico por 3 y le sumo uno debería tener el premio seguro.

Puesto que no pueden aparecer las letras repetidas y no pueden aparecer dos letras juntas, esto me pareció complicado de calcular, de modo que lo que pensé fue en usar el principio del complementario. Las totales serían \( 3^{38} \). Luego debería considerar que pueden aparecer letras repetidas o dos letras juntas y usar el principio de inclusión-exclusión. Pero no sé si entran ahí las cifras o no. Suponiendo que sea así (aunque estoy segura de que se resolverá de alguna forma más sencilla) tampoco sabría continuar a partir de aquí, no sé calcularlo.

b) ¿De cuántas formas se puede extraer del conjunto \( \{1,2,...,n\} \) un conjunto de r números de forma que no haya dos que sean consecutivos?

Para este también pensé que sería más fácil usar el complementario. Primero lo intento hacer para n=6 (para generalizar después, que así a mí me resulta más fácil).

Los subconjuntos posibles son \( 2^6 \). Ahora calculo los subconjuntos en los que hay dos números consecutivos. Números consecutivos del 1 al 6 habrá 5. Si fijo tales números me quedarán los subconjuntos que tengo que elegir para los otros 4 números que quedan. Por tanto, pensé que sería \( 5\cdot{ \displaystyle \sum_{k=0}^4}\displaystyle\binom{4}{k} \).

Por lo que la solución para n=6 sería \( 2^6-5\cdot{  \displaystyle\sum_{k=0}^4}\displaystyle\binom{4}{k} \).

Suponiendo que esto fuera cierto, lo que me piden sería \( 2^n-(n-1)\cdot{ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}}\displaystyle\binom{n-2}{k} \).

Saludos y muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 a) En primer lugar razona que si el número total de posibles tarjetas es \( N \), hacen falta \( 2N+1 \) cajas para asegurarnos encontrar tres iguales.

 En cuanto al número de tarjetas. Calcula por separado los siguientes casos:

- Tarjetas con tres números.

- Tarjetas con dos números y una letra.

- Tarjetas con dos letras en los extremos y un número en medio.

Saludos.

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias el _manco.

Ya entendí el problema a). Hay \( 10^3 \) tarjetas con tres números, \( 26\cdot{10^2} \) tarjetas con dos números y una letra, y \( 26\cdot{25}\cdot{10} \) con una cifra en medio  y dos letras.

Luego para estar seguros de que tendremos tres iguales necesitamos \( 2\cdot{(}10^3+26\cdot{10^2}+26\cdot{25}\cdot{10})+1 \).

Espero haberlo entendido bien.

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 En el (b) no utilizas el hecho de que te pidan subconjuntos de \( r \) elementos. Por lo demás tampoco entiendo bien como razonas.

 La clave para resolverlo de forma sencilla consiste en convencerse de que dar números \( 1\leq a_1<a_2<\ldots<a_r\leq N \) de manera que no haya dos consecutivos, equivale a dar números diferentes \( 1\leq b_1<b_2<\ldots<b_r\leq N-r+1 \).

 La relación entre unos y otros es \( a_i=b_i+i-1 \).

 Por ejemplo para escoger tres números entre \( \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \) de manera que no sean consecutivos (TIPO 1), basta escoger tres números diferentes en \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \) (TIPO 2), ordenarlos de menor a mayor e ir sumándoles por orden \( 0,1,2 \).

 Por ejemplo escoger \( 2,3,7 \) (TIPO 2) equivale a escoger \( 2,3+1=4,7+2=9 \) (TIPO 1) no consecutivos.

 Escoger 2,8,10 (TIPO 1) equivale a escoger \( 2,8-1=7,10-2=8 \) (TIPO 2) diferentes.

 La conclusión es que el número de subconjuntos que te piden es \( \displaystyle\binom{N-r+1}{r} \).

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias el_manco, está muy bien explicado.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ya entendí el problema a). Hay \( 10^3 \) tarjetas con tres números, \( 26\cdot{10^2} \) tarjetas con dos números y una letra, y \( 26\cdot{25}\cdot{10} \) con una cifra en medio  y dos letras.

Luego para estar seguros de que tendremos tres iguales necesitamos \( 2\cdot{(}10^3+26\cdot{10^2}+26\cdot{25}\cdot{10})+1 \).

Ojo. Tarjetas con dos números y una letra hay:

\( 3\cdot 26\cdot 10^2 \)

ya que la letra puede ir en primera posición, en el medio o al final.

Saludos.

[Gaussa]

Hay \( 10^3 \) tarjetas con tres números, \( 26\cdot{10^2} \) tarjetas con dos números y una letra, y \( 26\cdot{25}\cdot{10} \) con una cifra en medio  y dos letras.

Ojo. Tarjetas con dos números y una letra hay:

\( 3\cdot 26\cdot 10^2 \)

ya que la letra puede ir en primera posición, en el medio o al final.

Muchísimas gracias el_manco, no me había dado cuenta.

Saludos.