Sea \( (X_{n}) \) una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad \( f(x)=\frac{1}{\alpha}x^{-(1+\frac{1}{\alpha})}\mathbb{I}_{(1,\infty)}(x) \), donde \( 0<\alpha<1 \).
(a)Hallar el límite de \( Y_{n}=\sqrt[ n]{\prod_{k=1}^{n}X_{k}} \).
(b)Probar que \( Z_{n}=\dfrac{\sqrt{n}(\log(Y_{n})-\alpha)}{\log(Y_{n})} \) converge en distribución a una \( Z\sim N(0,1) \).
