[Leoed]

Hola.

En estos días pase por acá para que me explicaran unas líneas y gracias a el_manco las entendí perfectamente jeje, ahora me salieron otras dudas de algo que conseguí en el mismo libro, les agradecería mucho si me pueden explicar  ,son las siguientes:


Potencias de la matriz de transición

Para el caso particular de cadenas definidas en espacios de estados de dos elementos, vemos que calculo del elemento \( p_{11}^{(n)} \) se reduce a resolver una ecuación en diferencias. En efecto, \( P^{n+1}=P^nP \) lo cual implica que

  \( p_{11}^{(n+1)}=p_{12}^{(n)}(1-\alpha)+p_{11}^{(n)}\beta \)

y \( p_{12}^{(n)}+p_{11}^{(n)}=1 \) de donde para hallar \( p_{11}^_{(n)} \) hay que resolver la ecuación en diferencia

  \( \begin{Bmatrix} p_{11}^{(n+1)}=p_{11}^{(n)}(1-\alpha-\beta)+\beta \\p_{11}^{(0)}=1\end{matrix} \)

A continuación indicamos como resolver en general una ecuación en diferencia del tipo \( y_{n+1}=\lambda\,y_n+b \).Simplemente, utilizando el principio de inducción, se obtiene que

  \( y_n=\lambda^ny_0+b\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{}\lambda^j \)

Y se obtiene también

  \( \displaystyle\sum_{j=0}^n{}\lambda^j=\displaystyle\frac{1-\lambda^{n+1}}{1-\lambda} \)

Así,

   \( y_n=\lambda^ny_0+b\displaystyle\frac{1-\lambda^n}{1-\lambda} \)

Al aplicar lo anterior a nuestro problema inicial, se tiene que la solución general es,

    \( p_{11}^{(n)}=(1-\alpha-\beta)^n\displaystyle\frac{\alpha}{\alpha+\beta}+\displaystyle\frac{\beta}{\alpha+\beta} \)

El calculo realizado depende de la forma particular que tienen las matrices de transición con espacio de estados  \( E=\{1,2\} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Buf... sería bueno que dijiseses que cosas SI entiendes. Incluso hay una notación implícita detrás (que en el libro se explicará antes) que he tenido que "adivinar" del contexto.

 En un proceso de Markov de dos estados la matriz de transisción es una matriz \( P \) \( 2\times 2 \):

\(  P=\begin{pmatrix}{p_{11}}&{p_{12}}\\{p_{21}}&{p_{22}}\end{pmatrix} \)

 donde \( p_{ij} \) representa la probabilidad de pasar del estado \( i \) al estado \( j \). Por tanto:

\(  p_{11}+p_{12}=1,\quad p_{21}+p_{22}=1 \)

 ya que tras avanzar un paso, o llegamos al estado \( 1 \) o al estado \( 2 \).

 Denotaremos:

\(  \alpha=p_{12},\quad \beta=p_{21} \)

 y por tanto la matriz de transición queda:

\(  P=\begin{pmatrix}{1-\alpha}&{\alpha}\\{\beta}&{1-\beta}\end{pmatrix} \)

 Ahora la matriz de transición tras avanzar \( n \) pasos es:

 \(  P^n=\begin{pmatrix}{p_{11}^{(n)}}&{p_{12}^{(n)}}\\{p_{21}^{(n)}}&{p_{22}^{(n)}}\end{pmatrix} \)

 donde, ojo, \( p_{ij}^{(n)} \) no es  \( p_{ij} \) "elevado a \( n \)" sino una notación para referirse al elemento \( i,j \) de la matriz \( P^n \), que es la probabilidad de pasar del estado \( i \) al \( j \) en \( n \) pasos.

 Lo demás son cuentas. Obviamente se tiene que:

\(  P^{n+1}=P^nP \)

 Ahora si comparas el elemento en la posición 11 de la matriz inicial, con el del producto de la derecha verás que:

\(  p_{11}^{(n+1)}=p_{11}^{(n)}(1-\alpha)+p_{12}^{(n)}\beta  \)

 (tenías una errata en como lo habías escrito).

 A partir de ahora intenta pensar con calma en lo que sigue y pregunta las dudas concretas que te surjan.

Saludos.

[Leoed]

Hola.

Amigo ante todo muchísimas gracias por tus respuestas, es una investigación muy extensa de la universidad y pues se me hace algo complicado, te entendí perfectamente  .Con respecto a la errata fue del libro de hecho verifique y esta como yo lo había escrito, pero gracias a ti ya se que tienen un error. Me quedan algunas preguntas que quisiera me las aclares por favor, citare cosas del libro y te haré algunas preguntas:

hay que resolver la ecuación en diferencia

  \( \begin{Bmatrix} p_{11}^{(n+1)}=p_{11}^{(n)}(1-\alpha-\beta)+\beta \\p_{11}^{(0)}=1\end{matrix} \)

Ya se que tiene un error el libro, pero con nuestra nueva ecuación ("la corregida") como quedaría la primera ecuación de la parte citada? y de donde sale? esa parte aun no la tengo clara


Se me abrió la mente y ya se lo de las demostraciones por inducción que venían luego, sin embargo me queda una ultima pregunta y es en la ultima parte:

Al aplicar lo anterior a nuestro problema inicial, se tiene que la solución general es,

    \( p_{11}^{(n)}=(1-\alpha-\beta)^n\displaystyle\frac{\alpha}{\alpha+\beta}+\displaystyle\frac{\beta}{\alpha+\beta} \)

Esa ultima parte citada no la entiendo, como quedaría con la nueva ecuación ("la corregida") y de donde sale? porque trate de usar los resultados que ellos dicen que van a usar pero no me da.

Muchas gracias nuevamente por tu gran ayuda.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si hace esta cuenta:

\(  P^{n+1}=P^nP \)

 es decir:

\( \begin{pmatrix}{p_{11}^{(n+1)}}&{p_{12}^{(n+1)}}\\{p_{21}^{(n+1)}}&{p_{22}^{(n+1)}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{p_{11}^{(n)}}&{p_{12}^{(n)}}\\{p_{21}^{(n)}}&{p_{22}^{(n)}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1-\alpha}&{\alpha}\\{\beta}&{1-\beta}\end{pmatrix} \)

 obtienes:

\(  p_{11}^{(n+1)}=p_{11}^{(n)}(1-\alpha)+p_{12}^{(n)}\beta \)

 y usando que \( p_{11}^{(n)}+p_{12}^{(n)}=1 \) te queda:

\(  p_{11}^{(n+1)}=p_{11}^{(n)}(1-\alpha)+(1-p_{11}^{(n)})\beta=p_{11}^{(n)}(1-\alpha- \beta)+\beta \)

 Además:

\(  p_{11}^{(0)}=1  \)

 porque es la probabilidad de pasar del estado 1 al estado 1 en 0 pasos.

 Finalmente dices que entiendes como llega a esta fórmula:

\( y_n=\lambda^ny_0+b\displaystyle\frac{1-\lambda^n}{1-\lambda} \)

 pero no como aplicarla; en tu caso:

\(  \lambda=(1-\alpha-\beta) \)

\(  y_0=1 \)

\(  b=\beta \)

 Entonces:

\( \lambda^ny_0+b\displaystyle\frac{1-\lambda^n}{1-\lambda}=\lambda^n(y_0-\dfrac{b}{1-\lambda})+\dfrac{b}{1-\lambda}= \)

\( =(1-\alpha-\beta)^n(1-\dfrac{\beta}{\alpha+\beta})+\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}=(1-\alpha-\beta)^n(\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta})+\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} \)

Saludos.

[Leoed]

Hola.

Amigo muchísimas pero muchísimas gracias vale ahora si entiendo excelente y todo gracias a ti, gracias por explicarle a nosotros los mortales que se nos hace difícil entender pero queremos aprender.

Saludos.