[cbccbc]

Dada una variable aleatoria contínua X, comprobar que:

\( H(aX)= H(X)+ log \left |{a}\right  \)|

siendo H(X) la entropía de Shanon definida como:

\( H(X) = -\displaystyle\int_{\mathbb{R}}^{}f(x)*log(f(x))dx \)

siendo f(x) la función de distribución.


Gracias,

[Héctor Manuel]

mmm, tiene toda la pinta de resolverse con integración por partes.

Saludos.

[cbccbc]

f(x) no tiene por qué ser una potencia de X ni nada por el estilo, depende de la distribución de probabilidad.

[numbsoul]

Puedes calcular,derivando la distribución acumulada y usando la regla de la cadena,que la densidad de \( aX \) viene dada por \( \frac{1}{a}f(\frac{x}{a}) \).Entonces\( H(aX)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}-\frac{1}{a}f(\frac{x}{a})\log(\frac{1}{a}f(\frac{x}{a})) dx \).Mediante el cambio de variables \( y=\dfrac{x}{a} \),nos queda \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}-f(y)\log(\dfrac{f(y)}{a}) dy \),y de allí obtienes el resultado.