Hola amigos. He estado dando vueltas durante un rato con este ejercicio, y no logro terminarlo.
Sabemos que \( P(\theta|X)=\dfrac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)} \), donde \( P(\theta|X) \) es la distribución a posteriori, \( P(X|\theta) \) es la función de verosimilitud y \( P(\theta|X) \) es la distribución a priori.
Sea \( S_m=\displaystyle\frac{1}{m}\displaystyle\sum_{i=1}^m{\dfrac{P(\theta_i|X)\theta_i}{P(\theta_i)}} \), donde \( \theta_i \) son observaciones de la distribución a priori.
Demuestre que \( S_m \) converge a la esperanza de la distribución a posteriori.
Por una parte, la distribución a posteriori tiene por esperanza a \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\theta f(\theta|x)d\theta \).
Por otra parte \( E\left[S_m\right]=\dfrac{1}{m}E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^m{\dfrac{P(\theta_i|X)\theta_i}{P(\theta_i)}}\right]=\dfrac{1}{m}mE\left[\dfrac{P(\theta|X)\theta}{P(\theta)}\right]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\theta f(\theta|x)}{f(\theta)}f(\theta)d\theta \), y por tanto la esperanza de \( S_m \) es la misma que la de la distribución a posteriori.
Basta ahora con demostrar que la varianza tiende a 0, pero eso no lo he podido hacer.
¿Alguna sugerencia?
Saludos.
