[Michel]

En el triángulo ABC trazar una recta que corte al lado AB en M y al lado AC en N, de manera que el cuadrilátero BMNC y el triángulo AMN tengan el mismo perímetro y la misma área.

[Michel]

Si tienen el mismo perímetro, ha de verificarse:

BM+BC+NC=AM+AN,     AB-AM+BC+AC-AN=AM+AN,     AB+BC+AC=2(AM+AN)

Entonces: AM+AN=(AB+BC+AC)/2

Si tienen la misma área, el triángulo AMN será la mitad del triángulo ABC. Se verifica

\( \displaystyle\frac{(AMN)}{ABC}=\displaystyle\frac{AM.AN}{AB.AC}=\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow{AM.AN=\displaystyle\frac{AB.AC}{2}} \)

Entonces conocemos la suma y el producto de los segmentos AM y AN, que valen respectivamente el perímetro del triángulo dado y el semiproducto de los lados AB y AC.
Con estos datos pueden construirse los dos segmentos.