Hola
Ten en cuenta que:
\( P_{ij}^{n+m} \) es la probabildiad de pasar del estado \( i \) al \( j \) en \( n+m \) pasos. Equivalentemente la probabilidad de que la variable de estado \( X_{n+m} \) valga \( j \) sabiendo que la variable de estado inicial \( X_0 \) valía \( i \).
Ahora en ese proceso la variable de estado intermedia \( X_n \) pudo valer cualquiera de los distintos estados del conjunto de estados \( E \).
Es decir el suceso \( X_{n+m}=j \) es la unión del los sucesos \( (X_{n+m}=j)\cap (X_n=h) \) cuando \( h \) recorre todos los posibles estados \( E \):
\( (X_{n+m}=j)=(\displaystyle\bigcup_{h\in E}(X_{n+m}=j)\cap (X_n=h))=(X_{n+m}=j\cap (\displaystyle\bigcup_{h\in E} (X_n=h)) \)
De ahí tu primera igualdad. Luego no es más que usar las propiedades de la probabilidad.
Dado que los sucesos \( X_n=h \) con \( h\in E \) son disjuntos (es decir la variable \( X_n \) o toma un valor o toma otro, pero no dos al mismo tiempo), la probabilidad de la unión es la suma de probabilidades.
Luego por probabilidad condicionada, dados tres sucesos \( A,B,C \):
\( P(A\cap B|C)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(C)}=\dfrac{P(A|(B\cap C)P(B\cap C)}{P(C)}=P(A|(B\cap C))P(B|C) \)
donde en tu caso:
\( A=(X_{n+m}=j),\quad B=(X_n=h),\quad C=(X_0=i) \)
Saludos.
