[mgm_]

1.- Minimización del error cuadrático medio: Sea X con segundo momento finito. A la función \( g(u)=E[(X-u)^2] \) se le conoce como error cuadrático medio. Demuestre que g(u) se minimiza cuando \( u=E(X) \). Observe que en consecuencia, para cualquier valor real u tenemos que \( Var(X)\leq{E[(X-u)^2]} \)

2.- Minimización del error absoluto medio: Sea X con primer momento finito. A la función \( g(u)= E[\left |{X-u}\right |] \) se le conoce como error absoluto medio. Demuestre que si X es absolutament continua entonces g(u) se minimiza en una mediana.

[Héctor Manuel]

1) Observa que
\( \begin{eqnarray*}E[(X-u)^2]&=&E[X^2]-2uE[X]+u^2\\&=&Var(X)+E^2[X]-2uE[X]+u^2\\&=&Var(X)+(E[X]-u)^2\end{eqnarray*} \)

Intenta concluir.

2) Intenta algo similar.

Saludos.