Hola!
Si lo que quieres estimar es \( \theta \) usando el siguiente estimador:
\( \widehat{\theta}=\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{2n} \)
Para ver si el estimador \( \widehat{\theta} \) es insesgado, lo que queremos comprobar es si, \( E(\widehat{\theta})=\theta \) o no. Bueno, pues proseguimos:
\( E(\widehat{\theta})=E\left( \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{2n}\right)=\frac{1}{2n}\displaystyle \sum_{i=1}^n E(X_i^2) \)
Ahora me preocupo de calcular \( E(X_i^2) = Var(X_i)+E(X_i)^2 \) sabiendo que: \( E(X)=\sqrt{\frac{\theta \pi}{2}} \) y \( Var(X)=\frac{4-\pi}{2}\theta \).
Para poder seguir debemos ahora usar que las variables aleatorias \( X_i \) tienen todas la misma esperanza y varianza y que éstas son las que nos das tú en el enunciado. Así pues, bajo estas hipótesis: Para todo \( i=1,\dots,n \):
\( E(X_i^2)= Var(X_i)+E(X_i)^2=\frac{4-\pi}{2}\theta+\frac{\theta \pi}{2}=2\theta \)
Sustituyendo en la expresión anterior:
\( E(\widehat{\theta})=\frac{1}{2n}\displaystyle \sum_{i=1}^n E(X_i^2)=\frac{1}{2n}nE(X_1)=\theta. \)
Ergo, es un estimador insesgado. Lo último que uso es que, como todas las esperanzas \( E(X_i) \) valen lo mismo, lo que obtengo es \( n \)-veces la misma expresión, y las \( n \)'s se cancelan.
Espero haya servido de ayuda.
Saludos.
