Hola
Fíjate que el número de formas de sumar \( 12 \) con tres dados, es el número de soluciones enteras de la ecuación:
\( x_1+x_2+x_3=12 \) con \( 1\leq x_i\leq 6 \) para \( i=1,2,3 \) (*)
Ahora el número de soluciones enteras de la ecuación:
\( x_1+x_2+\ldots+x_n=N \) con \( 0\leq x_i \) para \( i=1,2,\ldots,n \)
son (esto es fácil de problar) las combinaciones con repetición de \( n \) elementos tomados de \( N \) en \( N \):
\( CR_{n,N}=\displaystyle\binom{n+N-1}{N}=\displaystyle\binom{n+N-1}{n-1} \)
¿Cómo utilizamos esto para hallar el número de soluciones bajo las condiciones de (*)?.
En primer lugar el número de soluciones enteras:
\( x_1+x_2+x_3=12 \) con \( 1\leq x_i\leq 6 \) para \( i=1,2,3 \)
es el mismo que el número de soluciones enteras de:
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1 \) con \( 0\leq x_i\leq 5 \) para \( i=1,2,3 \)
Este a su vez es lo mismo que el número de soluciones enteras de:
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1 \) con \( 0\leq x_i \) para \( i=1,2,3 \)
meno el número de soluciones enteras de:
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1 \) con \( 6\leq x_1, 0\leq x_2,x_3 \)
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1 \) con \( 6\leq x_2, 0\leq x_1,x_3 \)
y
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1 \) con \( 6\leq x_3, 0\leq x_1,x_2 \)
y a su vez cada un de esas ecuaciones equivale a:
\( x_1+x_2+x_3=12-1-1-1-6 \) con \( 0\leq x_1,x_2,x_3 \)
De todo esto se deduce que el número de soluciones de la ecuación inical es:
\( CR_{3,9}-3\cdot CR_{3,3}=\displaystyle\binom{11}{9}-3\displaystyle\binom{5}{3}=55-3\cdot 10=25. \)
Saludos.
