[Edurnita]

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si x }& <0\\ k+\displaystyle\frac{1}{2}x & \mbox{si 0}&\leq{x}\leq{1/2} \\1 & \mbox{si x}& \geq{1/2}\end{matrix} \)
Siendo f(x) = \( F_k(x) \)
1. Calcular los valores de k para los cuales es función de distribución.
2. Calcular la funcíon de masa de probabilidad asociada a la parte discreta de \( F_k(x) \)
3. Cacular la función de densidad de probabilidad asociada a la parte continua de \( F_k(x) \)
4. ¿Puede ser \( F_k(x) \) función de distribución de una variable aleatoria continua?

He calculado el 1 y con previos cálculos me da que para que sea función de distribución \( k \in{[0, 3/4]} \)

¿Estaría bien? ¿Me podrían ayudar si no fuera así? y ¿con el resto por favor?

[Luis Fuentes]

Hola

 Entiendo que querías poner:

 \( F_k(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si x }& <0\\ k+\displaystyle\frac{1}{2}x & \mbox{si 0}&\leq{x}\color{red}<\color{black}{1/2} \\1 & \mbox{si x}& \geq{1/2}\end{matrix} \)

 En ese caso la respuesta dada por ti a la primera pregunta es correcta.

 Para la segunda pregunta ten en cuenta que la parte discreta toma valores en los puntos de discontinuidad de la función.

 Nota que si \( k=0 \), la función es discontinua únicamente en \( x=1/2 \).

 Si \( k=3/4 \), la función es discontinua únicamente en \( x=0 \).

 Si \( k\in (0,3/4) \) entonces la función es discontinua en \( x=0 \) y \( x=1/2 \). El "salto" en \( x=0 \) es \( k \) y en \( x=1 \) el salto es \( 3/4-k \). Por tanto la distribución de masa en la parte discreta es:

\(  P(X=0)=\dfrac{k}{k+\frac{3}{4}-k},\quad P(X=1)=\dfrac{\frac{3}{4}-k}{k+\frac{3}{4}-k} \)

 Los otros dos casos son más sencillos.

 Para la tercera ten en cuenta que  la distribución de la parte continua se obtiene eliminando los saltos en las discontinuidades, y dividiendo por el máximo valor de la función.

 Intenta terminar.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Fíjate bien que te están pidiendo la densidad de la parte continua.
 
 Entonces debes de tener claro como se hace la descomposición.

 Supón que tu función de distribución es discontinua en los puntos \( x_1,x_2,\ldots,x_n \) donde hay un salto respectivamente de \( a_1,a_2,\ldots,a_n \).

 Entonces la parte discreta es la variable aleatoria con masa:

\(  P(X=x_i)=\dfrac{a_i}{a_1+a_2+\ldots+a_n} \) para \( i=1,2,\ldots,n \)

 La distribución de la parte continua se obtiene restando en cada punto de salto, el salto acumulado y dividiendo por el complemento a uno del salto total. Es decir:

 \( F_c(x)=\dfrac{1}{1-(a_1+a_2+\ldots +a_n)}F(x) \) si \( x\in (-\infty,x_1) \)
 \( F_c(x)=\dfrac{1}{1-(a_1+a_2+\ldots +a_n)}(F(x)-a_1) \) si \( x\in [x_1,x_2) \)
 \( F_c(x)=\dfrac{1}{1-(a_1+a_2+\ldots +a_n)}(F(x)-a_1) \) si \( x\in [x_1,x_2) \)
 \( F_c(x)=\dfrac{1}{1-(a_1+a_2+\ldots +a_n)}(F(x)-a_1-a_2) \) si \( x\in [x_2,x_3) \)
 \( \quad \ldots\quad \)
 \( F_c(x)=\dfrac{1}{1-(a_1+a_2+\ldots +a_n)}(F(x)-a_1-a_2-\ldots-a_n) \) si \( x\in [x_n,\infty) \)

 Fíjate que esas divisiones por el salto total en la parte discreta y el complemento a uno del mismo en la continua, se hacen para que cada una de las dos distribuciones siga cumpliendo que su probabilidad total es la unidad.

 Una vez hecha la descomposición si \( F_d,F_c \) son respectivamente las funciones de distribución de la parte discreta y continua ha de cumplirse que:

\(  F(x)=(a_1+a_2+\ldots+a_n)F_d+(1-(a_1+\ldots+a_n))F_c \)

 Finalmente la densidad de la parte continua es su derivada.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos te completaré el ejemplo para el caso en que \( k\in (0,3/4) \). En ese caso ya te mostré que la parte discreta tiene masa en los puntos \( 0,1/  \) (los de discontinuidad). En concreto:

\(  P(X=0)=\dfrac{k}{k+\frac{3}{4}-k}=\dfrac{4k}{3},\quad P(X=1/2)=\dfrac{\frac{3}{4}-k}{k+\frac{3}{4}-k}=\dfrac{3-4k}{3} \)

 Por tanto la función de distribución de la parte discreta, es:

\(  F_d(x)=P(X\leq x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }& x<0\\\dfrac{4k}{3} & \mbox{si}& 0\leq x<1/2\\1 & \mbox{si}& 1/2\leq x\end{matrix} \)

 Ahora para hallar la parte continua restamos a la función de partida los "saltos" en los puntos de discontinuidad. Nos queda:

 \( \begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }&x <0\\ \displaystyle\frac{1}{2}x & \mbox{si }&0\leq{x}<{1/2} \\\dfrac{1}{4} & \mbox{si }&x \geq{1/2}\end{matrix} \)

 y ahora dividimos por el complemento a uno de salto total \( 1-(k+3/4-k)=1/4 \). Nos queda:

 \( F_c(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }&x <0\\ 2x & \mbox{si }&0\leq{x}<{1/2} \\1 & \mbox{si }&x \geq{1/2}\end{matrix} \)

 Puedes comprobar que se cumple:

\(  F(x)=\dfrac{3}{4}F_d(x)+\dfrac{1}{4}F_c(x) \)

 Finalmente la densidad sería la derivada de \( F_c(x) \) (por ser una distribución continua no nos importa que hay puntos aislados donde la función no se a derivable):

 \( f_c(x)=F'_c(x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }&x <0\\ 2 & \mbox{si }&0\leq{x}<{1/2} \\0 & \mbox{si }&x \geq{1/2}\end{matrix} \)

Saludos.