[numbsoul]

Sean \( X,Y \) variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. Probar que su cociente \( \dfrac{X}{Y} \) tiene distribución de Cauchy.

Necesito demostrarlo sin apelar al teorema de cambio de variables, sino utilizando propiedades de esperanza condicional.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que por ser independientes la función de densidad \( f(x,y) \) de la distribución conjunta es el producto de las funciones de densidad de cada una de ellas.

 Ahora si llamamos \( G(z)) \) a la función de distribución de \( X/Y \) se tiene:

\(  G(z)=P(\dfrac{X}{Y}\leq z)=P(X\leq Yz)=P((X,Y)\in R)=\displaystyle\int\displaystyle\int_Rf(x,y)dxdy \)

 donde \( R=\{(x,y)\in R^2|x\leq yz\} \)

 Con esto intenta concluir.

Saludos.