Hola Rodrigo. Resuelvo el primero, el segundo es parecido. Sean \( X \) e \( Y \) las variables aleatorias que miden el tiempo en que llega María y Pedro a la cafetería respectivamente. Estas variables pueden ser modeladas según una distribución uniforme \( [0,1] \). Así el suceso \( \{X=0\} \) se correspondería con el acontecimiento "María llega a las 10". Siguiendo esta notación, por ejemplo \( P\{X=\frac{1}{2}\} \) sería la probabilidad de que María llegara a las 10:30, y \( P\left(\{X=\frac{3}{4}\}\cap{}\{Y=\frac{1}{4}\}\right) \) es exactamente la probabilidad de que María llegue 10:45 y Pedro 10:15 hs. Tenemos entonces que \( X,Y\sim{U[0,1]}\ iid \). Suponer que estas variables se comportan uniformemente significa que para nosotros la probabilidad de que uno llegue entre las 10 y las 10:30 es la misma que llegue entre las 10:30 y las 11. En general estamos asumiendo que cualquier intervalo de tiempo de igual longitud tiene misma probabilidad. La abreviatura \( iid \) significa
independientes e igualmente distribuidas. Son igualmente distribuidas porque responden a la misma función de distribución e independientes porque la hora a la que llega María no depende de la hora a la que llega Pedro (y viceversa). Se dice que la hora a la que llega uno no
condiciona la hora a la que llega el otro. La densidad de probabilidad de \( X \) (que es igual a la \( Y \)) es \( f_{X}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $t\in[0,1]$}\\0 & \mbox{si $t\notin [0,1]$}\end{array}\right. \). Como la variables son independientes, la densidad de probabilidad conjunta es el producto de las densidades marginales, es decir, \( f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $(x,y)\in[0,1]^2$}\\0 & \mbox{si $(x,y)\notin [0,1]^2$}\end{array}\right. \). Lo que a uno le interesa es conocer la probabilidad de que \( X \) e \( Y \) no difieran en más de 15 minutos, en nuestro contexto \( \frac{1}{4} \). O sea, debemos calcular \( P(\left |{X-Y}\right |\leq \frac{1}{4})=P((X,Y)\in D)=\displaystyle \int_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy \) donde \( D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \left |{x-y}\right |\leq \frac{1}{4}\} \). Como la función integrando vale 1 en el cuadrado \( [0,1]\times [0,1] \) y 0 en el resto del plano, se tiene que \( \displaystyle \int_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy=\int_{D\cap [0,1]^2}1\ dxdy=\mu(D\cap [0,1]^2)=\frac{7}{16} \). Si se observa la figura, esta probabilidad se corresponde con el área sombreada en rojo que queda dentro del cuadrado de bordes azules.
