Hola amigos. Estoy haciendo una tarea de estadística en la que me han pedido demostrar el siguiente resultado mediante simulación:
Si \( Z_i\sim N(0,1) \), entonces \( \overline{Z}\sim N(0,\frac{1}{n}) \), donde \( \overline{Z} \) es la media muestral de las \( Z_i \)'s.
Ya he logrado hacer un programa para la simulación, e incluso grafico el histograma de las observaciones hechas.
Lo cuelgo por si a alguien le interesa. Está hecho en r
muestra<-function(n,m)
{Meds=rep(0,m)
for(i in 1:m)
{Meds[i]=mean(rnorm(n))}
Meds
}
freqmax<-function(a)
{x=hist(a,nclass=20,plot=FALSE)
y=length(x$counts)
max=x$counts[1]
for(i in 1:y)
{if(x$counts[i]>max)
{max=x$counts[i]}
}
max
}
n=1000
m=2000
a=muestra(n,m)
L=freqmax(a)
b=seq(-4,4,0.001)
c=L*sqrt(2*pi/n)*dnorm(b,mean=0,sd=1/sqrt(n))
hist(a,nclass=20)
lines(b,c)
Explico:
Hago una observación de n muestras normales, y calculo su media.
Esto lo hago m veces. Cada una de esas medias se guarda en una entrada del vector Meds
Hago el histograma de Meds, y calculo la frecuencia máxima de Meds. La llamo L.
Finalmente grafico una función de la forma \( g(x)=L*\sqrt{\dfrac{2\pi}{n}}f(x) \), donde \( f \) es la densidad de una normal (\( f(x)=\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2n}{2}} \)) y \( x=-4,-3.999,-3.998,\cdots,3.999,4 \)
Lo que obtengo es lo siguiente. El primero es únicamente el histograma, y el segundo es el histograma con la función g.
Como verán, ciertamente tengo el resultado pedido. Lo que no se es cómo interpretarlo gráficamente. Me explico. Yo lo que hice fue multiplicar por una constante a la gráfica de la campana, de tal manera que su punto más alto coincida con el punto más alto del histograma. Intuitivamente lo que hice tiene sentido, pero "analíticamente" no entiendo lo que hice.
¿Pueden ayudarme con eso?
Saludos.
PD: No se si me he dado a entender. No quiero demostrar el teorema formalmente, ya que la demostración la conozco de sobra. Quiero saber cómo interpretar las gráficas y las construcciones que he hecho.
