Yo lo he calculado así, espero explicarme:
Sea \( X \) la variable aleatoria que toma valores en \( \left[1,...,n\right] \). Su istribución tiene como función de probabilidad (discreta):
\( P(X=k)=1/n \) para todo \( k=1,...,n \).
Si tomamos dos valores \( X_1 \) y \( X_2 \) (en tu notación, se corresponden a a y b) entonces queremos calcular:
\( P(X_1/X_2\leq 1)=P(X_1\leq X_2)=P(X_1-X_2\leq 0) \)
Calculemos pues, la distribución de la variable \( X_1-X_2 \). Observa que si la resta de dos valores escogidos es como mínimo 1-n, y cómo máximo n-1 luego la variable aleatoria \( X_1-X_2 \) toma valores en \( 1-n, 2-n,...,-1,0,1,...,n-2,n-1 \). Esto es fácil verlo en forma de matriz:
\( \begin{bmatrix} X_1/X_2 | & 1 & 2& \ldots & n \\ 1| &0 & 1 & \ldots & 1-n \\ 2& -1 & 0& \ldots & 2-n\\ \vdots |&&&\vdots \\ n| & n-1 &\ldots & -1 & 0\end{bmatrix} \)
Ok, intento explicar esta matriz... La idea es, ponemos los valores posibles de \( X_1 \) en vertical y los de \( X_2 \) en horizontal y dentro de la matriz la resta de \( X_1-X_2 \) así pues observa que la probabilidad que por ejemplo, \( X_1-X_2 \) sea 0, es el número de ceros de la diagonal dividido por los \( n^2 \) posibles resultados de la matriz. Otro ejemplo:
\( P(X_1-X_2=-1)=\frac{n-1}{n^2} \) ya que el -1 aparece \( n-1 \) veces en la matriz, y así sucesivamente. Hasta obtener fácilmente que: la distribución de \( X_1-X_2 \) tiene como función de probabilidad:
\( P(X_1-X_2=k)=\frac{n-|k|}{n^2} \) para \( k=1-n,...,-1,0,1,...,n-1 \)
Observa atentamente y verás que es cierto.
Finalmente nosotros queremos
\( P(X_1-X_2\leq 0)=P(X_1-X_2=1-n)+...+P(X_1-X_2=-1)+P(X_1-X_2=0)=\frac{n-|1-n|}{n^2}+...\frac{n-|-1|}{n^2}+\frac{n}{n^2}=\sum_{k=1}^n \frac{n-|-(n-k)|}{n^2}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n n-(n-k) = \frac{1}{n^2}(1+...+n)= \frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}. \)
que es lo que queríamos ver.
Espero que haya servido, cualquier duda puntual no dudes en decirlo!
Saludos.
