Hola
Nota que tres sucesos \( X,Y,Z \) son independientes si se cumple que:
\( P(X\cap Y)=P(X)P(Y),\quad P(X\cap Z)=P(X)P(Z),\quad P(Y\cap Z)=P(Y)P(Z) \)
\( P(X\cap Y\cap Z)=P(X)P(Y)P(Z) \)
Entonces primero prueba que:
\( X,Y \) independientes \( \Rightarrow{} \) \( X,Y' \) independientes
Spoiler
\( P(X\cap Y')=P(X)-P(X\cap Y)=P(X)-P(X)P(Y)=P(X)(1-P(Y))=P(X)P(Y') \)
De ahí se deduce que bajo tus hipótesis que:
\( P(A'\cap B')=P(A')P(B'),\quad P(A'\cap C)=P(A')P(C),\quad P(B'\cap C)=P(B')P(C) \)
Luego ten en cuenta que:
\( P(A'\cap B'\cap C)=P(A'\cap B')-P(A'\cap B'\cap C')=P(A')P(B')-P(A'\cap B'\cap C') \) (1)
\( P(A'\cap B'\cap C')=P(B'\cap C')-P(A\cap B'\cap C)=P(B')P(C')-P(A\cap B'\cap C') \) (2)
\( P(A\cap B'\cap C')=P(A\cap C')-P(A\cap B\cap C')=P(A)P(C')-P(A)P(B)P(C')=P(A)P(B')P(C') \) (3)
Susituyendo (3) en (2):
\( P(A'\cap B'\cap C')=P(A')P(B')P(C') \)
Sustituyendo (2) en (1):
\( P(A'\cap B'\cap C)=P(A')P(B')P(C) \)
Luego el resultado es cierto.
Saludos.
P.D. Intutitvamente si la ocurrencia de un suceso no depende de otro, la NO ocurrencia del mismo tampoco debe de depender del otro.
