[Gaussa]

Hola.

Tengo varias dudas en problemas en los que hay que usar el principio del palomar. Entiendo lo que este dice, es muy sencillo, pero me resulta complicado a la hora de relacionarlo con algún problema. El caso es que no se me ocurre como resolverlos por más que lo intento. Me gustaría que alguien me diera alguna pista.

Sean \( n_1, n_2,n_3 \), tres números naturales. Demuéstrese que al menos uno de los elementos del conjunto \( \{n_1,n_2,n_3,n_1+n_2,n_2+n_3,n_1+n_2+n_3 \} \) es divisible por 3.

Mi idea para este ejercicio es que sé que al dividir un número por 3 hay tres restos posibles (0,1 y 2). Entonces lo expreso como sigue:

\( n_1=pc+r_1 \)
\( n_2=qc+r_2 \)
\( n_3=tc+r_3 \)
\( n_1+n_2=c (p+q)+r_1+r_2 \)
\( n_2+n_3=c (q+t)+r_2+r_3 \)
\( n_1+n_2+n_3=c (p+q+t)+r_1+r_2+r_3 \)

Pero también tengo que tener en cuenta que el divisor es 3, luego \( p=q=t=3 \).
El conjunto está formado por 6 elementos, así que sólo haría falta demostrar que al menor 7 tienen el mismo resto, ¿no?. No sé si la idea es válida.

Un pianista ha ensayado durante \( 112 \) horas a lo largo de \( 12 \) días (cada día ha ensayado un número entero de horas). Demuestre que hubo un par de días consecutivos donde ensayó al menos 19 horas en total.

Tengo que demostrar que al menos la suma de dos números consecutivos es 19, pero no se me ocurre nada.

Sea un conjunto \( \{a_1,a_2,...,a_9 \} \) de números naturales diferentes cuya suma es 90. Demuestre que existen en este conjunto cuatro números cuya suma es al menos 40.

Aquí pienso que si la suma es 90 y hay 9 número la media por número será de 10. Y si la suma es al 40 entre 4 números también la media será 10. Pero sé que esto está mal, pues eso de "la media" lo hago dividiendo la suma entre los números que hay y no tiene mucho sentido. Lo que pretendo es relacionar las dos cosas... Vamos, que no sé como podría plantear el ejercicio.

Saludos y muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Si alguno de los \( n_1,n_2,n_3 \) tiene resto cero has terminado.
     En otro caso tiene resto uno o resto dos. Si no tienen todos el mismo resto entonces \( n_2 \) tiene distinto resto de \( n_1 \) (y en ese caso su suma es múltiplo de tres)  o distinto de \( n_3 \) y en ese caso \( n_2+n_3 \) es múltiplo de tres.
     Si todos tienen el mismo resto la suma de los tres tiene resto cero.

 2) Si llamas \( n_1,n_2,\ldots,n_{12} \) al número de horas que ensayó cada día. Supón que no hay dos días consecutivos con \( 19 \) o más horas. Entonces:

\(  (n_1+n_2)+(n_3+n_4)+\ldots +(n_{11}+n_{12})\leq 6\cdot 18=108 \)

 3) Supongo que querías decir "demuestre que existen cuatro número cuya suma es al menos 40".

 En otro caso si sumamos ocho cualesquiera de esos números agrupados de cuatro en cuatro tendríamos que su suma es menor o igual que \( 39\cdot 2=78 \).

 Hay nueve formas distintas de hacer esto dependiendo de qué número dejamos "fuera". Sumando todos esos posibles grupos de ocho números tendríamos ocho veces la suma de todos ellos y así:

\(  8\cdot 90\leq 9\cdot 78 \)

 ¡Contradicción!.

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias el_manco.

La última parte del tercer problema no la veo todavía, no entiendo ese último razonamiento. El resto ya lo he entendido bien y lo tengo todo aclarado.

(Al copiar el enunciado es cierto que me confundí y puse 90 en vez de 40. Ya lo arreglé).

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Supongamos que los nueve números son \( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9 \).

 Llamemos \( S=90 \) a su suma.

 Supongamos que no existen cuatro de ellos que suman \( 40 \). Entonces:

\(  S-a_9=(a_1+a_2+a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)<40+40=80 \)
\(  S-a_8=(a_1+a_2+a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_9)<40+40=80 \)
\(  S-a_7=(a_1+a_2+a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_8+a_9)<40+40=80 \)

\( \qquad\ldots \)

\(  S-a_1=(a_2+a_3+a_4+a_5)+(a_6+a_7+a_8+a_9)<40+40=80 \)

 Sumando estas expresiones tendríamos:

 \( 9S-S<9\cdot 80 \)

 de donde

 \( S<9\cdot 10=90 \)

 ¡Contradicción con el supuesto de que nuestros números sumaban 90!.

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias, está muy bien explicado, ya entendí también este último.

Saludos.