[Edurnita]

Dado el espacio de probabilidad \( ( \Omega,\alpha, p) \) sea  \( {An}_{(n=1)}^\infty`\subset{\alpha} \)
Siendo \( \Omega \) = el espcio muestral, \( \alpha \) es sigma álgebra y p es la probabilidad asociada a \(  (\Omega,\alpha) \)


Demostrar que \(  P ( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{An}) \geq{1-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P (An^c)} \)
Siendo\(  (An^c) \) el complementario de An

[pepito]

\(  P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=1-P\left(\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\right)=1-P\left(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c\right)\ge1-P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\right)\ge\\\\\ge1-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P\left(A_n^c\right) \)

Agrego: Y si la mirás con atención, vas a notar que en realidad la igualdad es imposible.