Tienes razón, no fui lo suficientemente explícito, en realidad no me refería al valor esperado de una función en terminos de X e Y, aunque tu respuesta fue acertada; sino simplemente al valor esperado general de X e Y. he leído un poco más sobre el tema y puedo redefinir mi pregunta de la siguiente forma:
Dadas las variables aleatorias X e Y discretas distribuídas conjuntamente con función de densidad \( f_{XY}(x,y) \), puede definirse la media marginal como:
\( E(X)=\displaystyle\sum_xxf_X(x)=\sum_xx\left(\sum_{R_Y}f(x,y)\right)=\sum_{R_X}\sum_{R_Y}xf(x,y)=\sum_Rxf(x,y) \)
En donde \( R_X \) y \( R_Y \) denotan el conjunto de todos los puntos en el rango de \( (X,Y) \) para los cuales \( X=x \) e \( Y=y \), y \( R \) denota el conjunto de todos los puntos en el rango de \( (X,Y) \).
Análogamente si X e y son variables aleatorias absolutamente discretas se define la media conjunta como:
\( E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x\left(\displaystyle\int_{R_Y}f(x,y)dy\right)dx=\int_{R_X}\int_{R_Y}xf(x,y)dxdy=\int_Rxf(x,y)dxdy \)
Ahora bien, se pretende hallar la media marginal de X e Y...
Según lo que he leído, la media marginal no sería la misma media condicional?
Se sabe que la función de densidad de la media condicional de Y, dado que \( X=x \) es:
\( E(Y|X=x)=\displaystyle\sum_{x=-\infty}^{\infty}y_kf_{X|y}(x|y) \) para X e Y discretas
\( E(Y|X=x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X|y}(x|y)dy \) para X e Y continuas
Estoy en lo correcto, o la media marginal es diferente?
Saludos!
Corregido
