[FireRaptor]

Hola, tengo un problema con el siguiente ejercicio.
Usted está interesado en invertir en la Bolsa de Valores de San Pedro, en la cual se transan
acciones de 80 empresas. Estas empresas se han dividido en dos grupos, de acuerdo con el
rendimiento neto anual de su acción. El grupo 1 está conformado por 50 empresas cuyas
acciones tienen un rendimiento anual que se puede representar por medio de una variable
aleatoria Normal con media US $10 y desviación US $5; mientras que el grupo 2 está
conformado por 30 empresas cuyas acciones tienen un rendimiento anual que se comporta
como una variable aleatoria Normal con media US $20 y desviación estándar desconocida.
Adicionalmente se sabe que la probabilidad de que el rendimiento anual de la acción de una
empresa del grupo 2 seleccionada al azar sea inferior a US $30 es de 0.841.

De acuerdo con este enunciado, la desviación estandar de la muestra que ya calcule sería 54,85. Mi duda está en la siguiente pregunta:

Usted invierte en 10 acciones de una misma empresa del grupo 1 y 6 acciones de una misma empresa del grupo 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento de su inversión después de un año esté entre US $170 y US $270?

Mi duda está en que entiendo bien lo que se me pide, me dicen que invierto en 10 del grupo 1 y en 6 del grupo 2, lo que tengo que hacer entonces es calcular la probabilidad de cada una estandarizando de la siguiente forma:
\( \displaystyle\frac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt[ ]{n}}} \) donde n sería 10 y 6 para cada caso, y luego debo sumar las probabilidades?

Les agradezco su ayuda

[Héctor Manuel]

Si \( X \) mide el rendimiento en el primer grupo y \( Y \) en el segundo, entonces te piden hallar \( P(170<X+Y<270) \).  Es decir, la probabilidad conjunta.

Saludos.

[FireRaptor]

Ok, en ese caso la función de densidad de probabilidad conjunta es:
\( f(x,y)=x+y \), pero en ese caso como hago para estandarizarla??

[Héctor Manuel]

No.

La función conjunta es \( f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \) (estoy suponiendo que las variables aleatorias son independientes).

Llamemos \( D=\{(x,y):170<x+y<270\} \).  Entonces te piden hallar la probalidad \( P((X,Y)\in D) \).

Observa el dibujo:



Entonces \( P((X,Y)\in D)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{170-x}^{270-x}f_{X,Y}(x,y)dydx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int_{170-x}^{270-x}f_X(x)f_Y(y)dydx \)

Resuelve la integral anterior, y ése será tu resultado.

Saludos.