Hola a todos,
En el apartado a) de un ejercicio (Ejemplo 1.36, "Matemática discreta y combinatoria", Ralph Grimaldi), definen las composiciones de un número entero \( n>0 \) como todas las posibles sumas de un número indeterminado de sumandos positivos tales que su suma sea \( n \). En particular, si \( n=4 \) tenemos que las composiciones de 4 son
1) \( 4 \)
2) \( 3+1 \)
3) \( 1+3 \)
4) \( 2+2 \)
5) \( 2+1+1 \)
6) \( 1+2+1 \)
7) \( 1+1+2 \)
8) \( 1+1+1+1 \)
El enunciado del problema es el siguiente:
"Supongamos ahora que queremos contar el número de cobmposiciones para el número 7. En este caso no queremos enumerar todas las posibilidades, que incluyen el 7; 6+1, 1+6; 5+2, 1+2+4; 2+4+1 y 3+1+2+1. Para contar todas estas composiciones , consideremos el número de sumandos posibles."
i) Para un sumando sólo existe una composición, a saber, 7.
ii) Si existen dos sumandos (positivos), queremos contar el número de soluciones enteras de
\( w_1 + w_2 = 7 \), donde \( w_1,w_2>0 \)
Esto es igual al número de soluciones enteras de \( x_1+x_2=5 \), donde \( x_1,x_2\ge 0 \).
El número de soluciones de este tipo es \( \displaystyle \binom{2+5-1}{5}=\binom{6}{5} \).
iii) En nuestro siguiente caso analizaremos las composiciones con tres sumandos (positivos). Así que ahora queremos contar el número de soluciones enteras positivas de
\( y_1+y_2+y_3=7 \).
Éste es igual al número de soluciones enteras no negativas de \( x_1 + x_2 + x_3 = 4 \)
Y este número es \( \displaystyle \binom{3+4-1}{4}=\binom{6}{4} \).
Para resumir mi problema podría decirse que no entiendo nada. Lo que más me cuesta de ver es "el cambio" que hace de \( w_i \) a \( x_i \) de manera que hace variar \( n=7 \).
Éste caso corresponde a combinaciones con repetición, donde si queremos \( r \) sumandos usamos \( r-1 \) barras que separan \( n \) cruces. Es decir:
\( a_1 + a_2 + a_3= 7 \)
Se puede modelizar como: ×××××××, junto con dos barras y sus posiciones separan los valores de \( a_i \) de izquierda a derecha (por ejemplo). Así, si \( a_1=0, a_2=4 \) y \( a_3=3 \), la representación es la siguiente: |××××|×××.
De esta forma tendremos que las composiciones de 7 para tres sumandos sería \( \displaystyle \binom{7+2}{2}\neq \binom{6}{4} \).
No llego a entender su solución ni razonamiento, de hecho creo que no entiendo el enunciado, ya que no sé a qué se refiere con que no queremos enumerar todas las posibilidades, y comienza a eliminar algunas de ellas, pensaba que éste era mi problema, pero luego generaliza el resultado.
"En general, para cada entero \( m \) positivo, existen \( \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1}\binom{m-1}{k}=2^{m-1} \) composiciones.
¿Podrían ayudarme a entender ésto?
¡Muchas gracias!
