Yo pensaba algo más o menos parecido, pero no estaba del todo seguro de cómo justificarlo. Como dice el manco, tomar como referencia al primer punto y ubicar el ángulo \( \pi \) sobre él. Después ubicar el segundo punto, llamando \( X_2 \) a su ángulo (que tendrá una distribución \( U_{(0,2\pi)} \)), y la fracción de circunferencia "que sirve" para el tercer punto (que se corresponde con la probabilidad de que el tercer punto caiga en la zona "que sirve", dado que su distribución también es uniforme) sería:
\( \begin{Bmatrix} \frac{1}{2\pi}(|X_2-\pi|+2(\frac{\pi}{2}-|X_2-\pi|)) & \mbox{ si }& \frac{\pi}{2}\le X_2\le\frac{3\pi}{2}\\0 & & \mbox{si no}\end{matrix} \)
O lo que es igual,
\( \begin{Bmatrix} 0 &\mbox{ si }& X_2 <\frac{\pi}{2}\\\frac{x_2}{2\pi} & \mbox{si}& \frac{\pi}{2}\le X_2<\pi\\\frac{2\pi-X_2}{2\pi} & \mbox{si}& \pi\le X_2\le\frac{3\pi}{2}\\0 &\mbox{ si }& \frac{3\pi}{2}<X_2\end{matrix} \)
Integrando sobre \( \mathbb{R} \) a esta función multiplicada por la densidad de \( X_2 \), se llega al mismo resultado, \( \frac{3}{16} \). Es el teorema de probabilidad total llevado al caso continuo, pero esto no agrega la gran cosa.
Sin embargo, una alternativa que tomo prestada del libro de Ross, "A first course in probability" (ejercicio 16 del capítulo 6), permite una generalización a \( n \) puntos, que de la otra forma, difícilmente pueda conseguirse.
Sea \( 0<d\le\frac12 \) y sean \( X_1,\ldots,X_n \) puntos de una circunferencia elegidos al azar y de forma independiente (\( n\ge2 \)). Se busca la probabilidad del evento \( A \), que consiste en que los \( n \) puntos pertenezcan a un mismo arco de longitud \( d2\pi \). La clave está en dividir al evento \( A \) en la unión disjunta de los \( n \) eventos \( A_i \), con \( 1\le i\le n \). Dado \( 1\le i\le n \), el evento \( A_i \) consiste en que los \( n \) puntos caigan sobre un arco de longitud \( d2\pi \) que, leido en sentido antihorario, tiene su primer extremo sobre el punto \( X_i \). Es muy fácil ver que para cada \( 1\le i\le n \) es \( P(A_i)=d^{n-1} \) usando el mismo razonamiento que antes, que es, tomar como referencia al punto \( X_i \). Como son eventos disjuntos,
\( P(A)=P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^nP(A_i)=nd^{n-1} \)
El único ínfimo problema aparecería en el caso \( d=\frac12,\,\,n=2 \), en el que los eventos no serían disjuntos per se, sino que la probabilidad de su intersección sería 0, o sea que sería lo mismo (de todas formas, ese caso es trivial).
