Sea Y una v.a. distribuida uniformemente \( (-1,1) \). Se definen las v.a:
\[
X_n \equiv \begin{cases}{-1}&\text{si}&Y\in [-1/n,1/n)\\0 & \text{si}& Y \in [-1/n,1/n)\\1 & \text{si}& Y \in [1/n,1)\end{cases}
\]
Estudiar los tipos de convergencia de dicha sucesión a la variable: (Convergencia en Ley, Convergencia en Probabilidad, Convergencia Casi Seguro y Convergencia en media de orden r)
\[
X \equiv \begin{cases}{-1}&\text{si}& Y \in (-1,0)\\1 & \text{si}& Y \in [0,1)\end{cases}
\]
Muchas gracias y espero su respuesta
SOLUCiÓn: Comencé por estudiar la Convergencia en media de orden r pues si se da ella implica las anteriores excepto la casi seguro. Y tras comprobar que cumple la convergencia en media r, puedo concluir que también converge en Probabilidad y en Ley. Pero no sé cómo demostrar si converge Casi Seguro. Utilizando la caracterización siguiente:
\( X_n\rightarrow_{c.s}{X}\Longleftrightarrow{lim_{n\rightarrow{\infty}} P(sup_{k\geq{n}}|X_k-X|>\epsilon)=0} \), \( \forall{\epsilon>0} \)
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