Verifica que en efecto la distancia está bien definita. Lo fundamental será que \( F_X(\cdot) \) y \( F_Y(\cdot) \) son acotadas.
Para (b): Nota que
\( F_X(x)=x\mathrm{I}_{[0,1]}(x)+\mathrm{I}_{(1,\infty)}(x) \) y \( F_Y(y)=\dfrac{y}{y+1}\mathrm{I}_{(0,\infty)}(y) \).
Observa las gráficas de ambas:
De la imagen, conjeturamos que \( \displaystyle\sup_{t\in\mathbb{R}}|F_X(t)-F_Y(t)|=\mbox{ distancia del punto B al C}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \). De hecho, nota que esta forma de definir distancia entre funciones no es otra cosa que ver para cuál \( t\in\mathbb{R} \) se tiene que la diferencia \( |F(t)-G(t)| \) es máxima.
Con esto en mente, veamos que efectivamente \( \displaystyle\sup_{t\in\mathbb{R}}|F_X(t)-F_Y(t)|=\frac{1}{2} \)
1) Demuestra que siempre se tiene \( F_Y(t)\le F_X(t) \). Por tanto \( |F_X(t)-F_Y(t)|=F_X(t)-F_Y(t) \)
Si \( t<0 \), entonces \( F_X(t)=F_Y(t)=0 \).
Si \( 0\le t\le1 \), entonces \( F_X(t)-F_Y(t)=t-\frac{t}{t+1} \), y usando métodos del cálculo se ve que esta diferencia de funciones es estrictamente creciente en \( [0,1] \). Por tanto, en tal intervalo el máximo se alcanza en \( t=1 \) y es \( F_X(1)-F_Y(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \).
Si \( 1< t \), entonces \( F_X(t)-F_Y(t)=1-\frac{t}{t+1} \), y nuevamente con métodos simples se ve que esta diferencia de funciones es estrictamente decreciente en \( (1,\infty) \), de modo que alcanza su máximo en \( t=1 \), y es de nueva cuenta \( \frac{1}{2} \).
En suma, tenemos que \( F_X(t)-F_Y(t)\le\dfrac{1}{2} \) para todo \( t\in\mathbb{R} \), con igualdad si y sólo si \( t=1 \). Esto muestra que \( |F_X(t)-F_Y(t)| \) es acotada superiormente por 1/2, y por tanto \( \displaystyle\sup_{t\in\mathbb{R}}|F_X(t)-F_Y(t)|\le\dfrac{1}{2} \), pero como para \( t=1 \) se tiene la igualdad, entonces \( \displaystyle\sup_{t\in\mathbb{R}}|F_X(t)-F_Y(t)|=\frac{1}{2} \).
Saludos.
