[Darío Rivera]

Hola compañeros del foro.

¿Cómo demuestro que el valor esperado de la distribución hipergeométrica es np?, es decir:

\( E(x)=\displaystyle\frac{nk}{N} \)

En donde N es el tamaño de la muestra, n es el tamaño tomado de N, y k es la clase A.

Saludos!

[Héctor Manuel]

Veamos:

\( \begin{eqnarray*}
E[X]&=&\displaystyle\sum_{x=0}^nx\dfrac{\displaystyle\binom{K}{x}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\binom{M}{n}}\\&=&n\displaystyle\frac{K}{M}\displaystyle\sum_{x=1}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K-1}{x-1}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\binom{M-1}{n-1}}}\\&=&n\dfrac{K}{M}\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K-1}{y}\displaystyle\binom{M-1-K+1}{n-1-y}}{\displaystyle\binom{M-1}{n-1}}\\&=&n\dfrac{K}{M}
\end{eqnarray*} \)

donde hemos usado que \( \displaystyle\sum_{i=0}^m{\displaystyle\binom{a}{i}\displaystyle\binom{b}{m-i}}=\displaystyle\binom{a+b}{m} \)

Saludos.

[Darío Rivera]

Gracias  , aunque no entendí la parte en donde sacas de la sumatoria

\( n\displaystyle\frac{K}{M} \)

[Darío Rivera]

Sólo tengo una última duda, después de tanto analizar he entendido la mayoría de la demostración así...

\( E(X)=\displaystyle\sum_{x=0}^n{x\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K}{x}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\binom{M}{n}}} \)

\( =\displaystyle\sum_{x=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x(K-1)!K}{(K-x)!(x-1)!x}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\frac{M(M-1)!}{(M-n)!(n-1)!n}}}=\displaystyle\frac{nK}{M}\displaystyle\sum_{x=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(K-1)!}{(K-x)!(x-1)!}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\frac{(M-1)!}{(M-n)!(n-1)!}}} \)

\( =\displaystyle\frac{nK}{M}\displaystyle\sum_{x=0}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K-1}{x-1}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\binom{M-1}{n-1}}}=\displaystyle\frac{nK}{M}\displaystyle\sum_{x=1}^n{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K-1}{x-1}\displaystyle\binom{M-K}{n-x}}{\displaystyle\binom{M-1}{n-1}}} \)

Este último paso que realizé creo yo que es porque si x varía desde 0 entonces tenemos el factorial de un número negativo, y esto no está definido, por lo tanto x puede variar de 1 a n sin alterar el resultado...

\( =\displaystyle\frac{nK}{M}\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}{\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{K-1}{y}\displaystyle\binom{M-K}{n-1-y}}{\displaystyle\binom{M-1}{n-1}}}=\displaystyle\frac{nK}{M} \)

Y por último pues está el cambio de variable y el resultado, así que sería solamente confirmar si lo respectivo a la sumatoria mencionado anteriormente es correcto...

Saludos!