[Darío Rivera]

Hola compañeros del foro, mi profesor de estadística hizo esta demostración en clase pero hay una parte en la que estoy desubicado...

La demostración consite en hallar la función generatriz de momentos para la distribución binomial negativa...

\( m_X(t)=E(e^{tx})=\displaystyle\sum_{x=0}^\infty{\displaystyle\binom{r +x - 1}{x}p^rq^xe^{tx}}=p^r\displaystyle\sum_{x=0}^\infty{\displaystyle\binom{r+x-1}{x}(e^tq)^x}= \)

\( p^r(1-e^tq)^{-r}=\displaystyle\frac{p^r}{(1-e^tq)^r} \)

La parte que no entiendo es la siguiente:

\( p^r\displaystyle\sum_{x=0}^\infty{\displaystyle\binom{r+x-1}{x}(e^tq)^x}=\displaystyle\frac{p^r}{(1-e^tq)^r} \)

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Está usando la fórmula del Binomio de Newton (generalizada) para la potencia recíproca:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio#Teorema_generalizado_del_binomio_.28Newton.29

Saludos.

[Darío Rivera]

No me queda del todo claro, según lo que leí en wiki, lo veo lo de la siguiente manera:

\( \displaystyle\frac{p^r}{(1-e^tq)^r}=p^r\displaystyle\sum_{x=0}^\infty{\displaystyle\binom{r+x-1}{r-1}(e^tq)^x} \)

y lo que hay es lo siguiente:

\( p^r\displaystyle\sum_{x=0}^\infty{\displaystyle\binom{r+x-1}{x}(e^tq)^x}=\displaystyle\frac{p^r}{(1-e^tq)^r} \)

en donde \( x \) debería ser \( r-1 \)

Saludos!

[Darío Rivera]

Ya está claro, debí tener en cuenta que

\( \displaystyle\binom{r+x-1}{x}=\displaystyle\binom{r+x-1}{(r+x-1)-x}=\displaystyle\binom{r+x-1}{r-1} \)