[numbers1]

Ayuda urgente, como resolver esto, por favor:

Si  \( X \) y \( Y \) son variables aleatorias independientes que toman valores en los enteros positivos y con función de masa común

\( P(X=k)=(Y=k)=2^{-k},k=1,2,.... \)

Sea \( m\in{Z^+} \)

Mostrar que:

\( P(X\geq{mY})=2/(2^{m+1}-1) \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa que:

\(  P(X\geq mY)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}P(X\geq mn|Y=n)P(Y=n)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}P(X\geq mn)P(Y=n) \)

 y

\(  P(X\geq N)=\displaystyle\sum_{n=N}^\infty{}P(X=n)=\displaystyle\sum_{n=N}^\infty{}2^{-n}=\dfrac{2^{-N}}{1-2^{-1}}=2^{1-N} \)

 Termina.

Saludos.

P.D. Recuerda la fórmula para series geométricas:

\( \displaystyle\sum_{i=k}^N{}a^i=\dfrac{a^k}{1-a} \)