[Fernanda]

Hola

Tengo el siguiente problema, y ya que mi maestro particular se fue recurro a ustedes. Espero me puedan ayudar.

Considere el siguiente modelo de probabilidad: \( \omega = \left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2},x^2+y^2\leq{1}}}\right\} \)  \( P(A)=\displaystyle\frac{1}{\pi} \)* (area de A). Así \( w=(x,y)\in{\omega} \) es un punto uniformemente distribuido en el interior del disco unitario. Definiendo \( X(w)=x \) y \( Y(w)=x \), muestre que \( X \) y \( Y \) no son variables aleatorias independientes.

Gracias

[Héctor Manuel]

Hola.  Tienes que aclarar más el enunciado. Te digo los puntos donde me pierdo:

1) \( \omega \), según tu notación, es el disco unitario (correcto?). Cuando defines un modelo de probabilidad debes dar una tripleta \( (X,\mathcal{X},P) \) donde \( X \) es un conjunto, \( \mathcal{X} \) es una \( \sigma- \)álgebra de subconjuntos de \( X \) y \( P \) es una función de probabilidad definida en \( \mathcal{X} \). En tu caso, cuáles son cada uno de esos elementos en tu modelo?

2) Suponiendo que \( A\subseteq\omega \) es un evento, entonces no entiendo cómo defines \( P(A) \) (¿Qué tiene que ver la \( x \)?).  O quisiste decir \( P(A)=\dfrac{1}{\pi}\times S(A) \), donde \( S(A)=\mbox{ \'area de }A \)

3) No entiendo cómo defines las variables aleatorias.  Además, según como lo has definido, es \( X=Y \) (ya que ambas variables significan dar la primer coordenada de un punto).  No debió ser \( Y(w)=y \)?

Más o menos entiendo tu ejercicio, así que al puedo sugerirte algo: nota que \( w\in\omega \) implica que \( Y(w)^2\le1-X(w)^2 \), de modo que la variable \( Y \)  "depende" de la variable \( X \).

Saludos.
PD: Yo era su maestro particualar   

[Fernanda]

De 2) tienes razón ya lo corregi y de 3) opino lo mismo que tu, pero asi como lo puse aparece en el libro.

[Héctor Manuel]

Suponiendo que se trata de la sigma-álgebra de todos los subconjuntos del disco, y que debe ser \( Y(w)=y \), tenemos:

1) \( P(X\le x, Y\le y)=\mbox{ \'area en verde }/\pi \)

2) \( P(X\le x)=\mbox{\'area en rojo}/\pi \)

3) \( P(Y\le y)=\mbox{\'area en azul}/\pi \)


Si fueran independientes, entonces sería \( P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y) \) para todo \( x,y\in \mathbb{R} \), de modo que para demostrar que no lo son, basta con hallar un par de números \( x,y \) tales que \( P(X\le x,Y\le y)\neq P(X\le x)P(Y\le y) \). 

Saludos.

[Héctor Manuel]

Hola.  Después de trabajar en la madrugada en este problema, te sugiero que tomes \( x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=y \).  Es decir, \( x=\cos\frac{\pi}{4} \) e \( y=\sin\frac{\pi}{4} \), por lo que \( (x,y) \) está justo en la circunferencia unitaria.

Esto lo hacemos para ganar simetrías.
Observa las siguientes figuras:




En la primera figura, el ángulo marcado mide \( \frac{\pi}{4} \). 
Nota que \( P(X\le \frac{1}{\sqrt{2}}, Y\le \frac{1}{\sqrt{2}})=\displaystyle\frac{\mbox{\'area de la figura en verde}}{\pi} \) (y me refiero a todo lo verde, no únicamente a lo que está en verde fuerte.)

Dichá área se puede expresar como la suma de las áreas en verde fuerte, el rectángulo en verde claro del primer cuadrante y el pedacito de círculo en el tercer cuadrante.  Por simetría, las áreas en verde fuerte miden lo mismo (por eso hemos pedido que el ángulo valga \( \frac{\pi}{4} \)).  Sea \( A \) el área de cada región en verde fuerte.  Entonces
\( \mbox{\'area de la figura en verde}=A+A+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}=2A+\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4} \).  Por tanto \( P(X\le \frac{1}{\sqrt{2}}, Y\le \frac{1}{\sqrt{2}})=\displaystyle\frac{\mbox{\'area de la figura en verde}}{\pi}=\frac{1}{\pi}\left(2A+\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \)

Por otra parte, Calculemos \( P(X\le \frac{1}{\sqrt{2}}) \).  Observa que dicha probabildad es el área de la región que a continuacíon dibujo, dividida entre \( \pi \):



Dicha área es el área del semicírculo en el lado izquierdo del eje Y más el área en verde del lado derecho.  Pero el área en verde del lado derecho es dos veces (nuevamente por simetría) el área de la región verde del primer cuadrante, y como ya dijimos, dicha área es precisamente \( A \).  En suma: \( P(X\le \frac{1}{\sqrt{2}})=\dfrac{\mbox{\'area de la figura anterior}}{\pi}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+2A\right) \)

Análogamente se tiene \( P(Y\le \frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+2A\right) \)

Si \( X,Y \) fueran independendientes, tendríamos que \( P(X\le\frac{1}{\sqrt{2}},Y\le\frac{1}{\sqrt{2}})=P(X\le \frac{1}{\sqrt{2}})P(Y\le \frac{1}{\sqrt{2}}) \), o equivalentemente, \( \frac{1}{\pi}\left(2A+\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+2A\right)\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+2A\right)=\frac{1}{\pi^2}\left(\frac{\pi}{2}+2A\right)^2 \).  Luego de unas cuentas, esto significa que \( \displaystyle\frac{\pi}{2}=4A^2 \)...(*)

Pero para ver que eso no es cierto, bastará con calcular (a).

Vayamos de nuevo al segundo dibujo (fer5): \( A \) es el área de la región en verde del segundo cuadrante.  Nota que puede ser divida en dos regiones: un triángulo y un sector circular.  Por simetría, el ángulo del sector circular (es decir, el rojo) es igual al ángulo en negro, que es \( \frac{\pi}{4} \).  Por tanto, dicho sector circular es la octava parte de la circunferencia, así que su área es \( \displaystyle\frac{\pi}{8} \).  Para el área del triangulo, es claro que vale \( \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}=\dfrac{1}{4} \). Por tanto \( A=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4} \).

Ahora únicamente verifica como quieras que bajo estas condiciones no se cumple la ecuación (*), de modo que \( X,Y \) no son equivalentes.

Saludos.

 

[Fernanda]

Gracias... qué haría yo sin usted?