[maria123]

Hola tengo un problema con el siguiente ejercicio:

Antes de empezar en vez de usar la notación normal de piso, |_ x _|, para no crear problemas usare [ x ].

Me piden que demuestre si es cierto lo siguiente:

\( [ \sqrt[ ]{[x]} ]=[\sqrt[ ]{x}] \)

Comienzo por

\( [ \sqrt[ ]{[x]} ]=\sqrt[ ]{[x]} - \left\{{\sqrt[ ]{[x]}}\right\} \)

Luego sigo

\( \sqrt[ ]{[x]} - \left\{{\sqrt[ ]{[x]}}\right\}=\sqrt[ ]{x - \left\{{x}\right\}}-\left\{{\sqrt[ ]{x - \left\{{x}\right\}}}\right\} \)

donde yo se que: \( \left\{{\sqrt[ ]{x-\left\{{x}\right\}}}\right\} \) y \( \left\{{x}\right\} \) estan en \( [0,1) \)

Y a partir de aquí no se como seguir...

Gracias

[numbsoul]

Por definición \( [\sqrt{[x]}]=max\{q\in\mathbb{Z}:q\leq \sqrt{[x]}\}=max\{q\in\mathbb{Z}:q^2\leq [x]\}=L \).

Y también \( [\sqrt{x}]=max\{q\in\mathbb{Z}:q^2\leq x\}=M \)

Trata de demostrar que \( L=M \) probando ambas desigualdades.

Spoiler

Sea \( A=\{q\in\mathbb{Z}:q^{2}\leq [x]\} \) y \( B=\{q\in\mathbb{Z}:q^{2}\leq x\} \).Como \( L \) es el máximo de \( A \),en particular \( L^{2}\leq [x]\leq x\Rightarrow L^{2}\leq x \),entonces \( L\in B \) y \( M \) es el máximo de \( B \),entonces \( L\leq M \).Como \( M^{2}\leq x \) y entre \( x \) y \( [x] \) no  hay ningún número entero,se tiene que \( M^{2}\leq [x]\Rightarrow M\in A\Rightarrow M\leq L \)

[cerrar]

[maria123]

Ok gracias