Compañeros del foro,tengan la amabilidad de darle el visto bueno al siguiente ejercicio, de lo contrario corriganlo por favor:
Sean \( X_1,X_2,....,X_n \)variables aleatorias discretas independientes con distribucion de Bernoulli y parametro \( p \).Mostrar que \( S=X_1+....+X_n \) tiene una distribucion binomial con parametros \( n,p \) .Lo resolvi asi:
Cada \( X_1,....,X_n \) tiene una distribucion de Bernoulli eso implica que \( Be(X_1)=p(1-p),....,Be(X_n)=p(1-p) \) luego \( P(S=s)=P(X_1+....+X_n)=s \) que es igual a \( \displaystyle\sum_{x_i\in{Im(X_i)}}P(X_1=x_1)P(X_2=s-x_2)....P(X_n=s-x_n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{1}P(X_1=k_1)P(X_2=s-k_2)....P(X_n=s-k_n)=p(1-p)p(1-p).....p(1-p) \) puesto que hay n variables aleatorias independientes de Bernoulli o lo que es lo mismo n ensayos independientes con dos posibles resultados \( p=favorable,q=1-p=fracaso \) entonces equivale a k favorables o q fracasos en n intentos por lo que \( S=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k} \).GRACIAS
