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Gracias de nuevo a el_manco por sus respuestas.
Diganme si el siguiente problema esta bien resuelto; de lo contrario corriganlo por favor:
Sea\( X:F\rightarrow{01,2,....} \)    una variable aleatoria con funcion de probabilidad generadora \( G_X \)  y \( k\in{N} \)  un natural, mostrar que las variables aleatorias definidas como\( Y=kX \) y \( Z=X+k \)
tienen funciones generadoras:\( G_Y(s)=G_X(s^k),G_Z(s)=s^kG_X(s) \) lo realice asi:
Puesto que \( G_Y(s)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P_ks^k,P_k=P(Y=k) \)
luego  \( Y=kX \)  se tiene\( G_x_K(s)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P(xK=k)s^k)s^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P(X=1)s^k)s^k \) como\( k\in{N} \) queda\( G_X(s^k) \) la otra variable quedaria\( G_Z(s)=G_X_+_k(s)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P(X+k=k)s^k)s^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}P(X=0)s^k)s^k \) pero como \( k\not\in{N} \) se reduce a \( G_X(s)s^k \).
GRACIAS.

[Luis Fuentes]

Hola

 No tengo muy claro de como razonas. Parece que mezclas la \( k \) de \( Y=kX \) que es fija, con el índice del sumatorio. Eso es incorrecto.

 Entonces tienes:

\(  G_X(s)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}s^nP(X=n) \)

\(  G_Y(s)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}s^nP(Y=n) \)

 Pero:

\(  P(Y=n)=P(kX=n)=P(X=n/k) \)

 esa propiedad es nula excepto si \( n \) es un múltiplo de \( k \), es decir, \( n=mk \). Queda:

 \(  G_Y(s)=\displaystyle\sum_{m=0}^\infty{}s^{mk}P(X=m)=\displaystyle\sum_{m=0}^\infty{}(s^k)^mP(X=m)=G_X(s ^k) \)

 Intenta ahora el otro.

Saludos.