[mgm_]

Un sistema en paralelo funciona siempre y cuando alguno de sus componentes funcione. Suponga que se tiene un sistema en paralelo con n componenetes que trabajan de manera independiente y la probabilidad de que cada una funcione es de 1/2. Encontrar la probabilidad condicional de que el primer componente funcione, dado que el circuito está funcionado.

Hice ésto... está bien?

Sea \( A_n= { El componente n-esimo funciona} = \displaystyle\frac{1}{2} \)

\(  P(A_1 \| \cap{A_i}) = \displaystyle\frac{P\cap{A_i}}{P\cap{A_i}}= (1/2)^n/(1/2)^n^-^1=\displaystyle\frac{1}{2} \)

[Héctor Manuel]

No entiendo bien tu notación.  En todo caso, al parecer condicionas a que TODOS los componentes funcionen, cuando en realidad te basta que uno funcione.

Arreglemos la notación:
\( A_m: \) funciona el componente \( m \).  Entonces \( P(A_m)=\frac{1}{2} \)

Por una parte, nota que \( P(\mbox{ todos fallen })=P(\mbox{ falle el primero y falle el segundo y... falle el }n) \)\( =(1-P(A_1))(1-P(A_2))\cdots (1-P(A_n))=\left(\frac{1}{2}\right)^n \) (por la independencia)

Por otra parte, te piden calcular \( P(A_1|\mbox{ el sistema funciona })=P(A_1|\cup A_m) \)

Pero \( P(A_1|\cup A_m)=P(\cup A_m|A_1)\dfrac{P(A_1)}{P(\cup A_m)} \)...(*)

Como \( A_1\subseteq \cup A_m \) (si el primer componente funciona, entonces alguna componente funciona), entonces \( P(\cup A_m|A_1)=1 \), y como \( P(\cup A_m)=1-P(\cap A_m^c)=1-P(\mbox{ todos fallan })=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \), sustituyendo en (*) se tiene lo pedido.

Saludos.

[mgm_]

Gracias por tu respuesta! Buena semana!