[numbers1]

¿Como resuelvo este problema?
Sean \( X,Y \) variables aleatorias independientes que toman valores en \( -1,1 \)  con probabilidad \( 1/2 \)  y sea\( Z=XY \),  mostrar que \( X,Y  y Z \) son independientes por  pares

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que comprobar que \( X,Z \) son independientes e \( Y,Z \) son independientes.

 Para ello nota que:

\(  P(Z=1)=P(X=1\cap Y=1)+P(X=-1\cap Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1) \)

\( P(Z=-1)=\ldots \)

 Para ver la independencia del primer par debe de cumplirse que:

\(  P(X=\pm 1\cap Z=\pm 1)=P(X=\pm 1)P(Z=\pm 1) \) (los cuatro casos variando los signos)

 Pero por ejemplo :

\(  P(X=1\cap Z=1)=P(X=1\cap YX=1)=P(X=1\cap Y=1)=P(X=1)P(Y=1) \)

 Continúa...

Saludos.