[numbers1]

Gracias a el_manco por la respuesta, ahora me piden lo siguiente:
Sean\( X,Y \) variables aleatorias discretas independientes con funcion de masa\( P(X=k)=P(Y=k)=pq^k \)  donde   \( 0<p=1-q<1 \),  mostrar que:
\( P(X=k|X+Y=n)=1/1+n \)   si   \( k=0,1,2,3,....,n \)    lo empece asi:
Usando la definicion de probabilidad condicional se tiene que:
\( P(X=k|X+Y=n)=P(X=k\cap{X+Y=n})/P(X+Y=n) \)   y puesto que  \( X,Y \) son independientes la expresion anterior se reduce a:\( P(X=k)P(X+Y=n)/P(X+Y=n)=P(X=k)=pq^k \)   y esto es\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{pq}^k \)
aqui es donde me quedo y no se como continuar para llegar al resultado que se pide

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que es falso que:

\(  P(X=k\cap X+Y=n)=P(X=k)P(X+Y=n) \)

 El motivo es que \( X \) es independiente de \( Y \), pero eso no implica que \( X \) sea independiende de \( X+Y \) (de hecho es muy razonable que \( X+Y \) dependa de \( X \)).

 Entonces nota que:

\(  P(X=k\cap X+Y=n)=P(X=k\cap Y=n-k)=P(X=k)P(Y=n-k) \)

 Inténtalo ahora.

Saludos.

[numbers1]

Gracias de nuevo a el_manco por la ayuda y por la aclaracion de conceptos, pero volviendo al problema de probabilidad condicional, si usamos la definicion de probabiidad condicional aunado a la correccion que mencionaste quedaria como:
\( P(X=k|X+Y=n)=P(X=k\cap{X+Y=n})/P(X+Y=n)=P(X=k)P(Y=n-k)/P(Y=n-k)=P(X=k)=pq^k=\displaystyle\sum_{k=1}^n{pq}^k \)                                      hasta aqui llego, y no se como continuar para concluir que    \( P(X=k|X+Y=n)=1/1+n,k=0,1,2,3,....,n \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que tienes es:

\(  P(X=k\cap X+Y=n)=P(X=k)P(Y=n-k)=pq^{k}pq^{n-k}=p^2q^n \)

 y

 \( P(X+Y=n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}P(X=i\cap X+Y=n)= \)

\( =\displaystyle\sum_{i=0}^npq^ipq^{n-i}=\displaystyle\sum_{i=0}^n{}p^2q^n=(n+1)p^2q^n \)

 Concluye...

Saludos.