Tengo una variable aleatoria \( X \) no negativa que cumple lo siguiente para todo \( t\geq 0,h>0 \): \( P(X\in (t,t+h]|X>t)=\lambda h+o(h) \),donde \( \lambda>0 \) está fijo,y \( \dfrac{o(h)}{h}\rightarrow 0 \) cuando \( h\rightarrow 0 \).Tengo demostrar que \( X \) tiene distribución exponencial de parámetro \( \lambda \).
La distribución exponencial \( F \) está definida por \( F(t)=0 \) si \( t<0 \) y \( F(t)=1-e^{-\lambda t} \) si \( t\geq 0 \).
En primer lugar,es claro que \( P(X\leq t)=0 \) si \( t<0 \) pues \( X \) es no negativa.
Ahora si \( t\geq 0 \),\( P(X\leq t)=1-P(X>t) \),con lo cual tendría que demostrar que \( P(X>t)=e^{-\lambda t} \) para \( t\geq 0 \)
