[ewinek]

Hola,

Tengo una duda con este problema, es de una oposicion a profesor de secundaria de matematicas, y una amiga me da una solucion la cual creo es incorrecta. Podriais darme vuestra opinion? No quiero decir lo que piensa ella ni lo que pienso yo para no condicionar las respuestas. A ver si me podeis ayudar! Saludos!

En una urna se introducen n bolas, cada una de las cuales puede ser blanca o
negra con igual probabilidad. A continuación se extraen 3 bolas de ella. ¿Cual es la
probabilidad de que la urna contenga sólo bolas blancas si las tres bolas extraídas
han resultado ser blancas?

[Luis Fuentes]

Hola

 Consideramos los sucesos:

 \( A_k=\{ \)en la urna se introducen \( k \) bolas blancas\( \} \)

 \( B=\{[tex]extraemos tres bolas blancas \)\}[/tex]

 Nos piden la probabilidad condicionada:

\(  P(A_n/B)=\dfrac{P(A_n\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B/A_n)P(A_n)}{\displaystyle\sum_{k=0}^n{}P(B/A_k)P(A_k)} \)

 Ahora la variable aleatoria que indica el número de bolas blancas que se han introducido en la urna es una binomial \( B(n,1/2) \) y por tanto:

\(  P(A_k)=\dfrac{1}{2^n}\displaystyle\binom{n}{k} \)

 Y por otra parte si hay \( k \) bolas blancas en la urna la probabilidad de que las tres extraídas sean blancas es:

\(  P(B/A_k)=\dfrac{k(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)} \) (nótese que obviamente es nula si \( k=0,1,2 \))

 Por tanto:

\(  P(B/A_n)P(A_n)=1\cdot P(A_n)=\dfrac{1}{2^n} \)

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{}P(B/A_k)P(A_k)=\displaystyle\sum_{k=3}^n{}\dfrac{k(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)}\dfrac{1}{2^n}\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{1}{2^n} \displaystyle\sum_{k=3}^n\displaystyle\binom{n-3}{k-3}= \)

\( =\dfrac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{m=0}^{n-3}\displaystyle\binom{n-3}{m}=\dfrac{2^{n-3}}{2^n}=\dfrac{1}{8} \)

Saludos.

[ewinek]

Hola gracias por la respuesta tan rapida y tan argumentada 

Esta amiga argumenta que el resultado es 2^(3-n)

Y yo le digo que tal y como esta formulado el problema, nos indican que se meten bolas negras y blancas por igual, que posteriormente se sacan 3 bolas blancas consecutivas y nos preguntan cual es la probabilidad de que el resto de bolas sean blancas. Segun eso yo he deducido que 1/2^n, puesto que si n=4 serian cuatro bolas blancas consecutivas en la urna y por tanto, la probabilidad seria de 1/16. No es asi?? Y si n=5 tendriamos 1/2^5 y asi sucesivamente. Me estoy equivocando¿??

[Luis Fuentes]

Hola

 Bueno en mi post anterior me falto completar la cuenta final. Quedaría:

 \(  P(A_n/B)=\dfrac{\dfrac{1}{2^n}}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2^{n-3}} \)

 así que coincido con tu amiga.

 Fijate que ese resultado es coherente: por ejemplo si \( n=3 \), si las tres bolas son blancas es seguro que todas las bolas que había en la urna (¡las tres!) eran blancas, con lo cual la probabilidad debiera de dar UNO como así ocurre.

 Con tu fórmula saldría sin embargo \( 1/2^3=1/8 \).

 Otra forma menos enrevesada, menos formal, de llegar al resultado es que si tres bolas ya sabemos que son blancas, simplemente tenemos que calcular la probabilidad de que las \( n-3 \) restantes lo sean:

\( \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3} \)

Saludos.

[ewinek]

Gracias por responder. Parece ser que yo me ciño demasiado al principio del enunciado donde se dice que las probabilidades de que entren blancas o negras en la urna son las mismas.

Si metemos 4 bolas en la urna en principio dos deberian ser negras y las otras dos blancas. En cambio nos dicen que son 3 blancas las que se extraen y cual es la probabilidad de que la cuarta sea blanca tambien. Con la formula que me dices hay un 50% de probabilidades de que sea blanca. Desde mi punto de vista es lo mismo que decir que probabilidad hay de que entren 4 bolas del mismo color a la urna si tenemos una probabilidad de que entren blancas o negras a un 50%. En ese caso mi formula no seria la correcta?

Veo que mi error viene de no considerar en terminos probabilisticos que las 3 bolas que se han extraido son blancas. Pero no veo el por que? Si no estoy errado de nuevo la probabilidad de que salgan 4 blancas consecutivas es lo que digo yo 2^-n.

De nuevo gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Si. Es que parece que desprecias o no consideras o no utilizas, la información muy relevante de que SABEMOS que tres de las bolas son blancas. En el caso de \( n=4 \), por tanto nuestro problema es saber que ocurre con la cuarta bola. Por eso la probablidad de que sea blanca es \( 1/2 \). Con tu fórmula sería \( 1/16 \); pero inisito tu no consideras (o pareces no hacerlo) la informacióna adicional de que hemos ya extraido tres bolas blancas.

Saludos.

[ewinek]

Ok gracias de nuevo. Me gustaria debatir un poco dando valores a n.

Cuando n tiende a infinito la formula de 2^(3-n) tiene mucha logica ya que por ejemplo, para n= 1.000.000 tendriamos supuestamente 500.000 bolas negras y 499.997 blancas en la urna. Con lo cual al sacar la cuarta bola tendriamos eso porcentaje de 1/2 practicamente.

Cuando n es pequeño, por ejemplo n = 10, no lo veo tan claro. Me explico, 10 bolas dentro de la urna, en teoria 5 negras y 5 blancas. Sacamos 3 blancas consecutivamente y nos preguntamos sobre que probabilidad tendriamos de sacar la cuarta de color blanco. Ahora mismo hay 5 bolas negras y 2 bolas blancas dentro de la urna, como voy a tener un 50% de probabilidades de sacar una bola blanca?

A ella tambien le extraño que con n pequeño no funcionara bien la formula, que te parece a ti ??

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Es que hay un error troncal en tu argumento: es falso que el hecho de que metamos las bolas en la urna con probabilidad \( 1/2 \) blanca o negra "es como si tuviésemos la mitad blancas y la mitad negras".
 
 En concreto dices:  "Me explico, 10 bolas dentro de la urna, en teoria 5 negras y 5 blancas"

 El problema nos preguna la probabilida de que todas las bolas sean blancas, con una información adicional dada; si suponemos que en la urna hay cinco de cada color entonces NO son todas blancas, y la probabilidad de que eso ocurra sería nula.

 Es clave que cuando sacamos las bolas no se sabe la distribución de colores que había en la urna.

Saludos.