Autor Tema: Demostración integrales dobles

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29 Agosto, 2011, 10:33 am
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fermin80

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Demuestre que

\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}\;dA=\pi/4 \)

29 Agosto, 2011, 01:15 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
Una forma: \( \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}\;dA=\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\right) \left(\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy\right) \) . Ahora usa el conocido resultado sobre la integral de Euler \( \int_{0}^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}/2 \) .

29 Agosto, 2011, 05:24 pm
Respuesta #2

jbgg

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También se puede hacer haciendo el cambio de variable a polares...

\(
\displaystyle\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}\;dxdy = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-r^2}r\; drd\theta
 \)

Hay que hacer una integral indefinida, pero como la función es no negativa no hay problemas...

29 Agosto, 2011, 09:58 pm
Respuesta #3

diegofernand

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porque el limite de la  integral es \( \pi/2 \) y no \( 2\pi  \)

29 Agosto, 2011, 10:13 pm
Respuesta #4

jbgg

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porque el limite de la  integral es \( \pi/2 \) y no \( 2\pi  \)

Porque si te fijas el recinto (donde varía x e y) es \( \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0\leq x,\; 0\leq y\} \) (es decir 1er cuadrante). Entonces si eso lo ponemos como ángulo... abarcaría entre 0 (rad) y \( \pi/2 \) (rad).

Si fuera entre 0 y \( 2\pi \) abarcaría el 1er y el 4o cuadrante.

Visualmente (si te imaginas el plano) es como se ve más fácil.