[juanchito]

Buen día comunidad de rincón matemático,

Tengo unos problemas sobre hallar una medida, en cuya resolución se mezclan el teorema del seno y las propiedades de triángulos y circunferencias.
Empiezo con el primero


El enunciado es el siguiente:
Se tiene un cuadrado que tiene de lado 28 unidades de longitud una circunferencia parte de uno de los vértices del cuadrado y se interseca con una de las diagonales de dicho cuadrado. Hallar la longitud de x.

Escribo la Solución.

[filomates]

A ver si es posible dar una demostraciòn sin aportar figura: me baso en la figura que acompaña al enunciado.

PASO1:  Formamos el triángulo isósceles cuyos vértices son el centro de la circunferencia y los extremos del segmento cuya longitud hay que calcular. Los dos lados iguales de ese triángulo son radios de la circunferencia. El radio de la circunferencia, según se desprende de la figura, mide 28 - 8 = 20 cm

PASO2:  Trazamos la altura de ese triángulo isósceles que acabamos de trazar, la altura que parte del vértice que es el centro de la circunferencia. Esta altura es la mitad de la diagonal del cuadrado, se puede calcular, ya que conocemos el lado del cuadrado 28cm, y vemos que mide \(  14 \sqrt 2  \)

PASO3:  Nos concentramos en uno de los triángulos rectángulos en que la altura divide al triángulo isósceles que estamos considerando.esultando
           En ese triángulo rectángulo, aplicando Pitágoras podemos hallar x/2 resultando:
        \(  \displaystyle\frac{x}{2} = \sqrt{20^2 - (14 \sqrt 2)^2} = \sqrt 8 = 2 \sqrt 2  \)
           Por tanto \(  x=4 \sqrt  2  \)