Hola buenas.
He suspendido la asignatura Conjuntos y Números de 1º de la carrera de Matemáticas y bueno, me gustaría escribir cuatro "ejercicios tipo" que aparecen en los exámenes y que no sé hacer. Me gustaría saber si conocen algún libro que pueda tratar problemas de este tipo:
1) En el conjunto C* de los números complejos no nulos definimos la relación \( zRw \Longleftrightarrow{\arg(z)= \arg(w)} \) y \( \left |{z-w}\right | \) es un número entero donde, para cualquier \( u\in{C*} \), los términos \( \arg(u) \) y \( \left |{u}\right | \) denotan el argumento principal y el módulo de u. Se pide:
a) Probar que \( R \) es una relación de equivalencia en C* y, para cada \( z\in{} \) C*, identificar su clase de equivalencia [z]. (Esta parte suele ser la única que sé hacer).
b) Considerar \( B=\left\{{z\in{C^{*}}}\right\<: \left |{z}\right |\leq{1}} \) y la correspondiente inclusión canónica \( j:B\longrightarrow{C^{*}} \). Estudiar la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de la aplicación compuesta \( j:B\longrightarrow{C^{*}}, p: C^{*}\longrightarrow{\frac{C*}{R}} \) donde p es la proyección canónica sobre el conjunto cociente.
2)Sea A=\( R^2-\left\{{0,0}\right\} \), conjunto al que vemos como subconjunto de plano euclídeo (en el que hay fijado un sistema de coordenadas). Definamos en A la relación R dada por (a,b)R(c,d) si y solo si ad= bc.
a) Probar que R es una relación de equivalencia en A e identificar las clases de equivalencia con respecto a la misma.
b) Si \( S^1=\left\{{(x,y)\in{A}: x^2+y^2 =1}\right\} \) denota la circunferencia de radio 1, estudiar la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de la composición de aplicaciones \( S^1\rightarrow{A}, p:A\longrightarrow{\frac{A}{R}} \) donde la primera flecha es la inclusión y la segunda la proyección canónica sobre el conjunto cociente.
3)En este ejercicio, para cualquier conjunto X de números reales, ponemos \( X^{+}= \left\{{x\in{X: x\geq{0}}}\right\} \). Denotamos por A el subconjunto de \( Q^{+} \) formado por aquellos \( y\in{Q^{+}} \) tales que \( y = a^2 \) para algún \( a\in{Q} \). Se supone conocido el hecho de que si n es un número natural, entonces siempre existe un \( y\in{A}: n\leq{y}<n+1 \). Demostrar:
a) A es denso en \( R^{+} \).
b) \( a,b\in{Q^{+}}: a<b \), entonces \( \sup_R(A\cap\{[a,b]\})=b \). ¿Cuándo existe el máximo de \( A\cap{[a,b]} \) ?
c) Si \( B\subset{R} \) es un subconjunto acotado superiormente, entonces el conjunto de las cotas superiores de B en R es un intervalo de la forma \( [s, +\infty] \), para algún número real s.
d) La serie \( \frac{1}{10}+\frac{2}{10^2}+...+\frac{9}{10^{9}}+\frac{1}{10^{10}}+\frac{2}{10^{11}}+...+\frac{9}{10^{18}}+... \) es convergente y su suma es un número racional. Escribir dicho número racional como una fracción de enteros.
4)En todo el ejercicio (A, \( \leq{} \)) es un conjunto totalmente ordenado. Dados dos elementos \( a,a'\in{A}: a<a' \) denotaremos por (a,a') el subconjunto de A formados por los elementos \( x\in{A}: a<x<a' \). Diremos que un subconjunto B de A es denso cuando para cualesquiera \( a,a'\in{A} a<a' \) se verifica o bien \( (a,a')=\emptyset \) o bien \( (a,a')\cap{B}\neq{\emptyset} \). Se pide:
a) Porbar que si B es un subconjunto denso de A y A no tiene máximo, entonces B no tiene máximo.
b) Supongamos que A no tiene ni máximo ni mínimo y que \( C\subseteq{B\subseteq{A}} \) son subconjuntos. Probar que si C es denso en B y B es denso en A, entonces C es denso en A.
c)Calcular todos los subconjuntos densos de Z.
d) Demostrar que \( C= \left\{{\frac{m}{2^n}}\right\: m\in{Z}}, n\in{N} \) es un subconjunto denso de R.
Eso es todo. No quiero que me ayuden a resolverlos ya que el profesor colgó las soluciones solo espero que me puedan hacer alguna sugerencia para encontrar un libro que tenga este tipo de ejercicios (y si es resueltos... ya no sabría cómo agradecérselo).
Saludos!!!!
