[Michel]

Demostrar que el ángulo de las bisectrices interiores de dos ángulos consecutivos de un cuadrilátero es igual a la semisuma de los otros dos ángulos del cuadrilátero, y que el ángulo de las bisectrices exteriores de dos ángulos consecutivos es igual a la semisuma de estos dos ángulos consecutivos.

[Michel]

Sea el cuadrilátero ABCD; O es la intersección de las bisectrices interiores de A y B.
En el triángulo AOB: \( <O=180º-\displaystyle\frac{A+B}{2}=\displaystyle\frac{360º-(A+B)}{2} \)
Como A+B+C+D=360º, será C+D=360º-(A+B).
Por tanto, \( <O=\displaystyle\frac{C+D}{2} \)

Sea O' la intersección de las bisectrices exteriores de A y B; como las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares, el cuadrilátero OB'O'A tiene dos ángulos rectos, por lo que los otros dos, O y O', será suplementarios:
\( <O'=180º-<O=180º-\displaystyle\frac{C+D}{2}=\displaystyle\frac{360º-(C+D)}{2}=\displaystyle\frac{A+B}{2} \)