[Quema]

Hola

Si tengo dos v.a. \( X,Y \) i.i.d y \( \alpha\in{}(/0,1) \) quiero maximizar respecto a \( \alpha \)

\( Eu(\alpha X+(1-\alpha Y) \), siendo \( u \) una función cóncava.

La condición de primer orden es: \( E(X-Y)u^{\prime}(\alpha X+(1-\alpha Y)=0 \), se que esto se cumple si \( \alpha=0.5 \), pero no me queda claro cómo es la prueba formal de esto.

¿ se sigue teniendo para ese máximo, si \( X,Y \) son idénticamente distribuidas, dependientes y simétricas?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar el hecho de que la función sea cóncava, te asegura que si existe un punto crítico necesariamente es el único máximo.

 Por otra parte:

\(  E((X-Y)u'(0.5X+0.5Y))=E(Xu'(0.5X+0.5Y))-E(Yu'(0.5X+0.5Y)) \)  (1)

 Ahora por ser independientes e idénticamente distribuidas son intercambiables (su función de distribución cumple \( F(x,y)=F(y,x) \)) y por tanto:

 \( E(Xu'(0.5X+0.5Y))=E(Yu'(0.5Y+0.5X)) \)

 De ahí la nulidad de (1).

 Con la hipótesis de dependencia tengo serias dudas. El problema es que aunque las marginales \( X,Y \) estén idénticamente distribuidas su distribución conjunta puede no ser simétrica, es decir, no cumplir \( F(X,Y)=F(Y,X) \).

Saludos.