[Quema]

Hola

Si \( X,Y \) son dos v.a. simétricas, entonces ¿se cumple que:

\( E(X-Y/X+Y)=E(Y-X/X+Y) \)?

¿deben ser idénticamente distribuidas además de simétricas?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 mmmm no se si estoy despistado pero no llega ni que sean idénticamente distribuidas. Como contrajemplo prubeba con la distribución bivariada:

 \( P((X,Y)=(0,-1))=P((X,Y)=(1,0))=P((X,Y)=(-1,1))=1/3 \)

Saludos.

[Quema]

Hola

Me da igual, pues cuando \( X+Y=-1 \) entonces \( X-Y=1 \) y \( Y-X=-1 \), cuando \( X+Y=1 \)entonces \( X-Y=1 \) y \( Y-X=-1 \) y
cuando \( X+Y=0 \)entonces \( X-Y=-2 \) y \( Y-X=2 \), los tres con igual probabilidad por lo tanto \( E(X-Y/X+Y)=E(Y-X/X+Y)=0 \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Emmm... no sé si estoy entiendo bien la notación. Esto es una cosa que ciclícamente utilizamos y cíclicamente se me olvida y tengo que refrescarla.

 Como yo lo entiendo \( E(X-Y/X+Y) \) no es un número, sino una variable aleatoria.

 Entonces con tus cuentas a lo que llegamos es que esa variable aleatoria toma los valores:

 \( 1 \) con probabilidad \( 2/3 \) (ya que \( X-Y=1 \) cuando \( X+Y=-1 \) ó cuando \( X+Y=1 \))
 \( -2 \) con probabilidad \( 1/3 \).

 Esa variable aleatoria no es simétrica, luego es distinta de la variable opuesta \( E(Y-X/X+Y) \).

 ¿Qué opinas?.

Saludos.

[Quema]

Hola

En realidad creo que es: \( E(X-Y/X+Y=k) \), pero a veces se omite el =k.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Yo creo que no. Cuando se escribe \( E(X/Z) \) se refiere a una variable aleatoria que (para v.a. discretas) toma los valores:

 \( E(X|Z=k) \) con probabilidad \( P(Z=k) \)

 (para v.a. continuas o generales es misma idea pero más farragosa de formalizar)

 Mira por ejemplo este enlace:

http://epcc.unex.es/modules.php?op=modload&name=Downloads&file=index&req=descargar&lid=6144

 Tu lo que pareces estar calculando es:

 \( E[E(X-Y|X+Y)] \)

 que no es lo mismo.

Saludos.

[Quema]

Hola,

Hay una cosa que no entiendo, en el contraejemplo partís de la distribución conjunta de X y Y. El teorema dice que X y Y son simétricas, cómo ligás la simetría de X y Y con la distribución conjunta?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si hallamos las marginales:

 \( P(X=-1)=P((X,Y)=(-1,-1))+P((X,Y)=(-1,0))+P((X,Y)=(-1,1))=1/3 \)

 y análogamente:

 \( P(X=0)=P(X=1)=1/3 \)

 Vemos que la variable es simétrica porque \( P(X=K)=P(-X=K). \)

 Idem para \( Y \).

Saludos.