[Supernerd]

Sea X una cadena de Markov con
espacio de estados E={1,2,3,4,5,6,7}
y matriz de transición P. Hallar el
\( P^{{+}\infty}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P^n} \)

\( \begin{bmatrix} 0.2 &  0.8  &   0   &   0  &   0   &   0   &   0 \\ 0.7 &   0.3  &   0   &   0  &    0  &    0  &    0 \\ 0   &   0  &   0.3  &  0.5  &  0.2  &   0   &   0 \\ 0   &   0  &   0.6  &   0  &   0.4  &   0   &   0 \\ 0   &   0  &    0  &   0.4  &  0.6  &   0  &    0 \\ 0  &   0.1  &  0.1  &  0.2  &  0.2  &  0.3  &  0.1 \\ 0.1  &  0.1 &  0.1  &   0  &   0.1  &  0.2  &  0.4 \end{bmatrix} \)

El tema es que no sé cómo hacer en estos casos en que la cadena de Markov no es irreducible(los conjuntos cerrados son recurrentes aperiódicos). Espero que me puedan dar una mano, tengo que rendir mañana esto.

[Luis Fuentes]

Hola

 Una forma sería:

 - Hallar los autovalores (serán dos unos y los demás menores que la unidad en valor absoluto).

 - Comprobar que las multiplicidades algebraicas y geométricas coinciden y por tanto la matriz diagonaliza  a una matriz \( D \).

 - Si \( K \) es la matriz formada por los autovectores se tiene que:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}P^n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}KD^nK^{-1}=K(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}D^n)K^{-1} \)

 Nota que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}D^n \) es una matriz diagonal de unos y ceros.

Saludos.

[Supernerd]

Muchas gracias manco, saludos

[kejo]

Hola

Tengo una duda, como se hace en el caso de que las multiplicidades algebraicas no coincidan?

[Luis Fuentes]

Hola

 En el caso de que no coincidan, puedes triangularizar la matriz mediante formas de Jordan. Pero el proceso es más laborioso. ¿Lo conoces?.

Saludos.