[Juann]

Hola.

Presento un problema que me está costando por la "complejidad" de los cálculos, y preguntaba para saber si hay algún modo sencillo que se me pase por alto de hacerlo.

Un vector mixto \( (X, Y) \) con soporte \( [0, 1]\times[0, 1] \) tiene repartida una masa \( p \) de manera uniforme en el interior del cuadrado unidad, y una masa \( q(=1-p) \) de manera uniforme sobre los lados de dicho cuadrado.
Me definen dos variables:
\( Z=min\{X, Y\} \)
\( T=max\{X, Y\} \)

Me piden hallar la curva de regresión general de \( Z \) sobre \( T \): \( C_{Z|T} \), que es \( E[Z|T=t]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}R_{Z|T} \), donde \( R_{Z|T} \) es el residuo, es decir, \( 1-F_{Z|T} \), con \( F_{Z|T} \) la función de distribución de la correspondiente variable condicionada.

Yo he sido capaz de calcular la funcion de distribucion condicionada, el residuo, y la curva de regresión general, pero ahora me piden analizar la covarianza de \( (Z, T) \) y dar una cota. Y aqui es donde no estoy muy seguro de cómo continuar.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Simplemente ten en cuenta que la distribución conjunta \( (Z,T) \) tiene soporte en el triángulo rectángulo:

\(  \{(z,t)\in \R^2|0\leq z\leq t\leq 1\} \)

 y es una distribución mixata con masa \( p \) repartida de manera uniforme en:

\(  \{(z,t)\in R^2|0<z\leq t< 1\} \)

 y masa \( q=1-p \), repartida de manera uniforme en los catetos del triángulo rectángulo.

Saludos.

[Juann]

Hola.

El caso es que yo ya tengo calculada la distribución conjunta de (Z, T) y la condicionada, que paso a poner:

\( F_Z(z|t)=\left\{ \begin{array}{c} 0\textsf{ si } z<0\\ \displaystyle\frac{q/4+pz}{q/4+pt}\textsf{ si } 0\leq{z}<t\\1 \textsf{ si } z\geq{t} \end{array}\right \)

De este modo, integro el residuo y obtengo \( E(Z|T=t)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{pt^2}{q/4+pt} \), que es la curva de regresión pedida.

Mi problema viene ahora al intentar analizar la covarianza, dar una cota de ella, y estudiar la incorrelacion en función de \( p \), que no se muy bien como empezar.

Gracias,

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero si tienes la distribución para la convarianza no hay más que aplicar la fórmula:

\(  cov(Z,T)=E(Z\cdot T)-E(Z)E(T) \)

 ¿Dónde está el problema?. ¿Es al hacer las cuentas?.

Saludos.

[Juann]

Exacto, porque para calcular la esperanza de \( Z \) y la de \( T \), creo que sabría, pues sé averiguar las funciones de distribución y por tanto el residuo y de ahi la esperanza. Pero, ¿cómo puedo calcular \( E(Z\cdot{}T) \) ?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si sabes la distribución conjunta ten en cuenta que:

\(  E(ZT)=\displaystyle\int\displaystyle\int zt\color{red}dF(z,t)\color{black} \)

 donde me estyo refiriendo a la integral de Riemann-Stieljes; deberás separarla en la parte continua bidimensional en el interior del triángulo y en la parte continua unidimensional de su frontera.

Saludos.

CORREGIDO (gracias Juann)

[Juann]

Hola.

¿Podrías ayudarme a separar dicha integral? Me cuesta un poco cuando se tratan modelos mixtos y no tengo ningún ejemplo resuelto en el que fijarme.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos:

 - En la región  \( R= \{(z,t)\in \R^2|0< z\leq t< 1\} \) tenemos probabilidad \( p \) uniformemente distribuida. Por tanto la densidad en esa región es:

 \( f(z,t)=\dfrac{p}{1/2}=2p \)

- En los catetos \( \{0\}\times [0,1] \) y \( [0,1]\times \{1\} \), tenemos probabilidad \( q=1-p \) uniformemente distribuida. Por tanto la densidad en esa región es:

 \( f(0,t)=f(z,1)=\dfrac{q}{2} \)

 Entonces:

\(  E(ZT)=\displaystyle\int\displaystyle\int_Rzt\cdot 2pdzdt+\displaystyle\int_{0}^{1}0\cdot t\cdot \dfrac{q}{2}dt+\displaystyle\int_{0}^{1}z\cdot 1\cdot \dfrac{q}{2}dz \)

 donde:

\( \displaystyle\int\displaystyle\int_Rzt\cdot 2pdzdt=\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int_0^tzt\cdot 2pdzdt \)

 ¿Puedes continuar?.

Saludos.

[Juann]

Hola,

Sí manco, muchas gracias.

Quisiera preguntar más, para entenderlo mejor:

Tengo dudas, porque cuando se dice \(  E(ZT)=\displaystyle\int\displaystyle\int ztf(z,t)dzdt \), yo entiendo que f(z, t) es una densidad, es decir, que el modelo es absolutamente continuo. Pero en el caso de modelos mixtos o singulares, estas cosas no nos la han definido bien (a veces en lugar de poner \( f(z, t) \) nos ponian \( dF(z, t) \) ) y por eso andamos casi todos tan inseguros. Si pudieras comentarme un poco sobre esto yo te lo agradecería muchísimo (por ejemplo en este ejercicio me hablabas de 3 densidades  ).

La otra duda que tengo viene con los soportes de los vectores: el soporte de una variable aleatoria \( X:\Omega \to \mathbb{R} \), sé calcularlo (miro donde la func. de distribución "crece", es decir, los puntos \( \{x\in{}\mathbb{R}| F(x-\epsilon)<F(x+\epsilon), \forall{}\epsilon>0\} \)), pero en el caso de modelos bidimensionales esa definición anterior no nos sirve, y ni siquiera sé cual es su definición formal (intuitivamente la mayoría de las veces lo saco, como en este problema, por ejemplo, pero a veces dudo). ¿Cuál es exactamente la definición de soporte en un modelo bidimensional?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo dudas, porque cuando se dice \(  E(ZT)=\displaystyle\int\displaystyle\int ztf(z,t)dzdt \), yo entiendo que f(z, t) es una densidad, es decir, que el modelo es absolutamente continuo. Pero en el caso de modelos mixtos o singulares, estas cosas no nos la han definido bien (a veces en lugar de poner \( f(z, t) \) nos ponian \( dF(z, t) \) ) y por eso andamos casi todos tan inseguros. Si pudieras comentarme un poco sobre esto yo te lo agradecería muchísimo (por ejemplo en este ejercicio me hablabas de 3 densidades  ).

Tienes razón. Te indiqué que me refería a la integral de Riemann-Stieljes y en ese caso la notación correcta es:

\(  E(ZT)=\displaystyle\int\displaystyle\int zt\color{red}dF(z,t)\color{black} \)

y no la que yo había puesto. ¿Has estudiado la integral de Riemann-Stieljes? Aquí tienes unas notas sobre la misma.

La otra duda que tengo viene con los soportes de los vectores: el soporte de una variable aleatoria \( X:\Omega \to \mathbb{R} \), sé calcularlo (miro donde la func. de distribución "crece", es decir, los puntos \( \{x\in{}\mathbb{R}| F(x-\epsilon)<F(x+\epsilon), \forall{}\epsilon>0\} \)), pero en el caso de modelos bidimensionales esa definición anterior no nos sirve, y ni siquiera sé cual es su definición formal (intuitivamente la mayoría de las veces lo saco, como en este problema, por ejemplo, pero a veces dudo). ¿Cuál es exactamente la definición de soporte en un modelo bidimensional?

No recuerdo ahora mismo la definición formal que viene en los libros. Pero sería razonable tomar:

\( Sop(X)=\{x\in R^2|\hbox{ para todo entorno }U\hbox{ de }x, P(X\in U)>0\} \)

Saludos.